Question

15．如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端固定在地面上，上端與一質(zhì)量為m的小球相連且處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用力F將小球緩慢上移，直到彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)．然后撤掉該力，小球從靜止開(kāi)始下落．已知彈簧的彈性勢(shì)能E_P與形變量x的關(guān)系為E_P=$\frac{1}{2}$kx²，（不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g）求：
（1）小球緩慢上移過(guò)程中，F(xiàn)力做的功
（2）撤掉力F后，小球從靜止下落的最大速度v？
（3）彈簧彈性勢(shì)能最大時(shí)，小球的加速度a．

Answer 1

分析 （1）由做功表達(dá)式，結(jié)合胡克定律，由平均力做功，即可求解；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理，選取研究過(guò)程，即可求解最大速度；
（3）當(dāng)彈性勢(shì)能最大時(shí)，速度為零，根據(jù)動(dòng)能定理求出彈簧的壓縮量，再根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．

解答 解：（1）球處于平衡位置時(shí)，則有：mg=kx；小球緩慢上移過(guò)程中，拉力是變力，取平均值，根據(jù)做功表達(dá)式，則有：W=$\frac{mg}{2}•\frac{mg}{k}=\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$，
（2）速度最大時(shí)，彈力與重力相等，加速度為零，小球從靜止下落到最大速度的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理，
則有：mg•$\frac{mg}{k}$-$\frac{1}{2}k（\frac{mg}{k}）^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{k}}$，
（3）彈性勢(shì)能最大時(shí)，速度為零，根據(jù)動(dòng)能定理得：
0-0=mgs-$\frac{1}{2}k{s}^{2}$
解得：s=$\frac{2mg}{k}$
根據(jù)牛頓第二定律得：
a=$\frac{ks-mg}{m}=g$
答：（1）小球緩慢上移過(guò)程中，F(xiàn)力做的功為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$；
（2）撤掉力F后，小球從靜止下落的最大速度v為$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{k}}$；
（3）彈簧彈性勢(shì)能最大時(shí)，小球的加速度a為g．

點(diǎn)評(píng) 考查做功表達(dá)式，掌握變力做功的求法，理解動(dòng)能定理的應(yīng)用，注意力做功的正負(fù)，知道彈性勢(shì)能最大時(shí)，速度為零，速度最大時(shí)，加速度為零，彈力與重力相等．