Question

13．如圖所示，AB為傾角θ=37°的光滑斜面軌道，通過(guò)一小段光滑圓弧與光滑水平軌道BC相連接，質(zhì)量為m₂的小球乙靜止在水平軌道上，此時(shí)小球乙與斜面底端B的距離d=2m．質(zhì)量為m₁的小球甲以某一未知速度v₀與乙球發(fā)生彈性正碰，使乙球獲得6m/s的速度．若m₁：m₂=1：2，且軌道足夠長(zhǎng)，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）第二次碰撞前小球乙在斜面運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）兩球發(fā)生第二次碰撞時(shí)的位置到斜面底端B的距離．

Answer 1

分析 （1）小球乙在斜面做勻變速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，再由速度公式求得上升時(shí)間，結(jié)合對(duì)稱性求得小球乙在斜面運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）對(duì)于兩球的第一次碰撞過(guò)程，由于發(fā)生的是彈性碰撞，所以遵守動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒，由此列式，求出碰后甲球的速度．再根據(jù)位移關(guān)系求解．

解答 解：（1）小球乙在斜面運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
   m₂gsin37°=m₂a  ①
設(shè)在斜面上升時(shí)間為t₂，則 0=v₂-at₁．②
小球乙在斜面運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t′=2t₁  ③
聯(lián)立①②③解得  t′=2s
（2）兩球發(fā)生彈性正碰，取向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒得：
   m₁v₀=mv₁+m₂v₂ ④
   $\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂² ⑤
聯(lián)立④⑤解得：v₁=-3m/s，負(fù)號(hào)表示方向向右
設(shè)發(fā)生第二次碰撞時(shí)的位置到斜面底端B的距離為L(zhǎng)，則在兩次碰撞之間的時(shí)間內(nèi)，甲在水平軌道運(yùn)動(dòng)的路程為（L-d），乙在水平軌道運(yùn)動(dòng)的路程為（L+d），于是
   $\frac{L-d}{|{v}_{1}|}$=t′+$\frac{L+d}{{v}_{2}}$  ⑥
解得 L=18m 
答：
（1）第二次碰撞前小球乙在斜面運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是2s；
（2）兩球發(fā)生第二次碰撞時(shí)的位置到斜面底端B的距離是18m．

點(diǎn)評(píng) 本題要明確兩球的運(yùn)動(dòng)情況，把握乙球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和彈性碰撞的規(guī)律：動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒，分析兩球發(fā)生第二次碰撞的條件是解決本題的關(guān)鍵．