Question

（2008?佛山二模）如圖所示，相距2L的AB、CD兩直線間的區(qū)域存在著兩個(gè)大小不同、方向相反的有界勻強(qiáng)電場，其中PT上方的電場E₁的場強(qiáng)方向豎直向下，PT下方的電場E₀的場強(qiáng)方向豎直向上，在電場左邊界AB上寬為L的PQ區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為m的粒子．從某時(shí)刻起由Q到P點(diǎn)間的帶電粒子，依次以相同的初速度v₀沿水平方向垂直射入勻強(qiáng)電場E₀中，若從Q點(diǎn)射入的粒子，通過PT上的某點(diǎn)R進(jìn)入勻強(qiáng)電場E₁后從CD邊上的M點(diǎn)水平射出，其軌跡如圖，若MT兩點(diǎn)的距離為

L

2

．不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用．
試求：
（1）電場強(qiáng)度E₀與E₁；
（2）有一邊長為a、由光滑絕緣壁圍成的正方形容器，在其邊界正中央開有一小孔S，將其置于CD右側(cè)，若從Q點(diǎn)射入的粒子經(jīng)AB、CD間的電場從S孔水平射入容器中．欲使粒子在容器中與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出（粒子與絕緣壁碰撞時(shí)無能量和電量損失），并返回Q點(diǎn)，在容器中現(xiàn)加上一個(gè)如圖所示的勻強(qiáng)磁場，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑小于a，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小還應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）粒子在兩電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由圖可得出粒子在兩電場中的運(yùn)動(dòng)情況；分別沿電場方向和垂直電場方向列出物理規(guī)律，聯(lián)立可解得電場強(qiáng)度的大��；
（2）粒子進(jìn)入磁場時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，由題意可知其運(yùn)動(dòng)的臨界半徑值，再由牛頓第二定律可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答：解：（1）設(shè)粒子經(jīng)PT直線上的點(diǎn)R由E₀電場進(jìn)入E₁電場，由Q到R及R到M點(diǎn)的時(shí)間分別為t₁與t₂，到達(dá)R時(shí)豎直速度為v_y，
則：由s=

1

2

at2
       v=at
及牛頓第二定律，F(xiàn)=qE=ma
得：L=

1

2

a1

t

2 1

=

1

2

qE0

m

t

2 1

①
而

L

2

=

1

2

a2

t

2 2

=

1

2

qE1

m

t

2 2

②
速度關(guān)系，vy=

qE0

m

t1=

qE1

m

t2③
v₀（t₁+t₂）=2L④
上述三式聯(lián)立解得：E₁=2E₀，
E0=

9m v 2 0

8qL

即E1=

9m v 2 0

4qL

．
（3）欲使粒子仍能從S孔處射出，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是如圖甲、乙所示的兩種情況
甲S對圖甲所示的情形，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，
則R1=

a

2(2n+1)

，n=0、1、2、…
又qv0B1=

mv02

R1

解得：B1=

2(2n+1)mv0

qa

，n=0、1、2、3…
S乙對圖乙所示的情形，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，則R2=

a

4k

，k=1、2、…
又qv0B2=

mv02

R2

  則有 B2=

4kmv0

qa

，k=1、2、3…
綜合B₁、B₂得：B=

2Nmv0

qa

，N=1、2、3…
或R=

a

2N

，N=1、2、…
又qv0B2=

mv02

R2

解得，B2=

2Nmv0

qa

，N=1、2、3…
答：（1）電場強(qiáng)度E0=

9m v 2 0

8qL

，E1=

9m v 2 0

4qL

．；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)的半徑小于a，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小還應(yīng)滿足的條件B2=

2Nmv0

qa

，N=1、2、3…

點(diǎn)評：帶電粒子在電場磁場中的運(yùn)動(dòng)要把握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在電場中利用幾何關(guān)系得出其沿電場．和垂直于電場的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；而在磁場中也是要注意找出相應(yīng)的幾何關(guān)系，從而確定圓心和半徑．