Question

16．如圖所示，一個(gè)光滑圓筒直立于水平桌面上，圓筒的直徑為L(zhǎng)，一條長(zhǎng)也為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定在圓筒中心軸線上的O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球．當(dāng)小球以速率v繞中心軸線OO′在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)（小球和繩在圖中都沒(méi)有畫(huà)出，但不會(huì)碰到筒底），求：
（1）當(dāng)v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$時(shí)繩對(duì)小球的拉力大小；
（2）當(dāng)v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$時(shí)繩對(duì)小球的拉力大小．

Answer 1

分析 求出物體剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開(kāi)錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：首先臨界條件分析（當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)半徑剛為為0.5L，即球與筒壁剛接觸但筒壁剛好對(duì)小球無(wú)指向圓周運(yùn)動(dòng)中心的支持力）
則小球受繩子的拉力T，豎直向下的重力mg，繩子的水平分力提供向心力即：
豎直：Tcos30°=mg
水平：Tsin30°=$\frac{m{v}^{2}}{0.5L}$
解之得v²=$\frac{\sqrt{3}Lg}{6}$
（1）當(dāng)v₁=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$時(shí)，時(shí)，因?yàn)関₁＜v，所以小球沒(méi)有貼著筒壁而做半徑較小的圓周運(yùn)動(dòng)，圓筒壁對(duì)小球的支持力N₁=0．
設(shè)此時(shí)繩與豎直方向夾角為α，
則：T₁sinα=m$\frac{{v}^{2}}{Lsinα}$
T₁cosα=mg，
解得：T₁≈1.09mg
（2）當(dāng)v₂=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$時(shí)，因?yàn)関₂＞v₀，所以小球緊挨著內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到重力、細(xì)繩的拉力和筒壁的彈力，其合力提供向心力，則得：
豎直方向有：T₂cosα=mg
水平方向有：T₂sinα+N₂=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{Lsinα}$
解得：T₂=1.15 mg．
答：（1）當(dāng)v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$時(shí)繩對(duì)小球的拉力大小為1.09mg；
（2）當(dāng)v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$時(shí)繩對(duì)小球的拉力大小為1.15 mg．

點(diǎn)評(píng) 本題要注意判斷筒壁對(duì)球有無(wú)彈力，分析向心力來(lái)源，再運(yùn)用牛頓第二定律求解，難度適中．