Question

8．如圖所示，在豎直平面的xoy坐標(biāo)系內(nèi)，一根長為l的不可伸長的細(xì)繩，上端固定于+y軸上的A點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，在+x軸上的P點(diǎn)固定一個(gè)表面光滑的小釘，P點(diǎn)與A點(diǎn)保持相距$\frac{3}{4}$l．現(xiàn)拉小球使細(xì)線繃直并處在水平位置，然后由靜止釋放小球，當(dāng)細(xì)繩碰到釘子后，小球就以P點(diǎn)為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度大小為g，求：
（1）若調(diào)節(jié)A點(diǎn)的位置，使OA=$\frac{l}{2}$，則小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩中的拉力為多少；
（2）若小球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求OA的取值范圍；
（3）在第二問中，若小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)繩子立即斷開，試確定小球經(jīng)過y軸時(shí)的坐標(biāo)范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求最低點(diǎn)速度，再由牛頓第二定律求細(xì)繩中的拉力；
（2）由動(dòng)能定理及向心力公式求OA的范圍；
（3）繩子恰好斷開小球從最低點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解

解答 解：（1）小球由最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$mg（\frac{l}{2}+\frac{l}{4}）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
根據(jù)牛頓第二定律有：$T-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
而且：$R=\frac{l}{4}$，整理可以得到：T=7mg．
（2）設(shè)OA的距離為h，從小球釋放到圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理：
$mg（h-\frac{l}{4}）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，
若小球恰好能過圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，則：
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
則h的最小值為：${h}_{min}^{\;}=\frac{3}{8}l$
根據(jù)題意可得，當(dāng)P移到O點(diǎn)時(shí)，則OA的高度為${h}_{max}^{\;}=\frac{3}{4}l$，且能過最高點(diǎn)，
則OA的取值范圍為：$\frac{3}{8}l≤h≤\frac{3}{4}l$．
（3）當(dāng)$h=\frac{3}{4}l$時(shí)，小球直接擺下．正好過坐$（0．-\frac{1}{4}l）$；當(dāng)$h=\frac{3}{8}l$時(shí)，$OP=\sqrt{A{P}_{\;}^{2}-O{A}_{\;}^{2}}$，且小球過最低點(diǎn)的速度為${v}_{2}^{\;}$，
根據(jù)動(dòng)能定理：$mg（\frac{3}{8}l+\frac{1}{4}l）=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，
細(xì)繩斷開后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向有$OP={v}_{2}^{\;}t$，
豎直方向下落的高度$H=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，
可以得到：$H=\frac{27}{160}l$，
所以最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{27}{160}l+\frac{1}{4}l=\frac{67}{160}l$．
答：（1）若調(diào)節(jié)A點(diǎn)的位置，使OA=$\frac{l}{2}$，則小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩中的拉力為7mg；
（2）若小球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，OA的取值范圍$\frac{3}{8}l≤h≤\frac{3}{4}l$；
（3）在第二問中，若小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)繩子立即斷開，小球經(jīng)過y軸時(shí)的坐標(biāo)范圍$（0，-\frac{1}{4}l）$，$（0，-\frac{67}{160}l）$之間

點(diǎn)評 小球在運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；解題時(shí)要注意，小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，重力和拉力的合力提供向心力