Question

如圖所示，豎直光滑四分之三圓軌道BCD固定在水平面AB上，軌道圓心為O，半徑R=1m，軌道最低點(diǎn)與水平面相切于B點(diǎn)，C為軌道最高點(diǎn)，D點(diǎn)與圓心O等高．一質(zhì)量m=1kg的小物塊，從水平面上以速度υ₀=8m/s豎直向上拋出，物塊從D點(diǎn)進(jìn)入圓軌道，最終停在A點(diǎn)，物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，取g=10m/s²．求：
（1）物塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度；（可以保留根式）
（2）物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小；
（3）物塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間及A、B間的距離．

Answer 1

分析：（1）物塊豎直向上拋出，以豎直向上方向?yàn)檎�方向，其加速度�?g，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；
（2）從拋出到C點(diǎn)的過程，只有重力做功，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式，求解物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度，再根據(jù)牛頓第二、第三定律求解對(duì)軌道的壓力大�。�
（3）由機(jī)械能的守恒定律求出物塊到B點(diǎn)速度，由動(dòng)能定理求解AB間的距離，再根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合即可求解時(shí)間．

解答：解：（1）從拋出到D的過程，物塊做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：-2gR=

v

2 D

-v

2 0

解得：v_D=

-2gR+ v 2 0

=

-2×10×1+82

m/s=2

11

m/s
（2）從拋出到C點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
 

1

2

m

v

2 0

=mg2R+

1

2

m

v

2 C

 
解得：v_C=

v 2 0 -4gR

=

82-4×10×1

m/s=2

6

m/s
C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F+mg=

m v 2 C

R

 
代入數(shù)據(jù)解得：F=

m 2 C

R

-mg=

( 24 )2

1

-1×10=14N
由牛頓第三定律，物塊對(duì)軌道的壓力F_N′=14N，
（3）由機(jī)械能的守恒定律知，物塊到B點(diǎn)速度v_B=v₀=8m/s
由動(dòng)能定理-μmgx_AB=0-

m v 2 0

2

解得：x_AB=

m v 2 0 2

μmg

=

82

2×0.4×10

m=8m
由牛頓第二定律得：μmg=ma，
則得 a=μg=0.4×10m/s²=4m/s²
物塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間  t=

v0

a

解得：t=2s
答：
（1）物塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度為2

11

m/s；
（2）物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小為14N；
（3）物塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為2s，A、B間的距離為8m．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于動(dòng)力學(xué)問題，常常有兩類解題思路：一是牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合；二是機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理．