Question

13．（12分） 萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)是17世紀(jì)最偉大的物理成就之一。牛頓通過下述兩個(gè)步驟完成了萬(wàn)有引力定律的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

(1)在前人研究的基礎(chǔ)上，牛頓證明了“行星和太陽(yáng)之間的引力跟行星的質(zhì)量成正比，跟行星到太陽(yáng)之間的距離的二次方成反比”。

(2)據(jù)牛頓第三定律，牛頓提出：“既然這個(gè)引力與行星的質(zhì)量成正比，當(dāng)然也應(yīng)該和太陽(yáng)的質(zhì)量成正比”。

請(qǐng)你根據(jù)上述推導(dǎo)思路，完成萬(wàn)有引力定律數(shù)學(xué)表達(dá)式的推導(dǎo)。(注意：要說明各個(gè)字母的含義及推導(dǎo)依據(jù))

Answer 1

解： 設(shè)行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)對(duì)行星引力F提供行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即  F=mv²/r

式中r是太陽(yáng)和行星間的距離，v是行星運(yùn)動(dòng)的線速度，m是行星的質(zhì)量。

設(shè)行星運(yùn)動(dòng)周期為T，則有  v=2πr/T

代入上式得 

由開普勒定律知   r³/T²是個(gè)常數(shù)，

所以引力F和行星質(zhì)量m成正比，和行星到太陽(yáng)的距離的二次方成反比

根據(jù)牛頓第三定律知引力F也和太陽(yáng)的質(zhì)量成正比。

設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，則有F∝

寫成等式就是  F=，G是常量