Question

一行星探測(cè)器，完成探測(cè)任務(wù)后從行星表面豎直升空離開該行星．假設(shè)該探測(cè)器質(zhì)量恒為M=1500kg，發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)產(chǎn)生的推力為恒力，行星表面大氣層對(duì)探測(cè)器的阻力大小不變．探測(cè)器升空后一段時(shí)間因故障熄滅，發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作．圖示是探測(cè)器速度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線．已知此行星的半徑為6000km，引力常量為G=6.67×10^-11N?m²/kg²，并認(rèn)為探測(cè)器上升的高度范圍內(nèi)的重力加速度不變．求：
（1）該行星表面的重力加速度；
（2）探測(cè)器發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)產(chǎn)生的推力；
（3）該行星的平均密度．

Answer 1

分析：在速度-時(shí)間圖象中，某一點(diǎn)代表此時(shí)刻的瞬時(shí)速度，時(shí)間軸上方速度是正數(shù)，時(shí)間軸下方速度是負(fù)數(shù)；切線的斜率代表該位置的加速度，向右上方傾斜，加速度為正，向右下方傾斜加速度為負(fù)；
根據(jù)牛頓第二定律列出等式求解．
在行星表面根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力表示出行星的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求解．

解答：解：（1）根據(jù)圖象和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知：
0～8s內(nèi)，探測(cè)器的加速度大小 a₁=10.5m/s²
8～20s內(nèi)，探測(cè)器的加速度大小a₂=7 m/s²
20～36s內(nèi)，探測(cè)器的加速度大小a₃=5m/s²
設(shè)空氣阻力為f，根據(jù)牛頓第二定律，
8～20s內(nèi)：mg+f=ma_{2 ①}
分20～36s內(nèi)：mg-f=ma_{3 ②}
由①②解得：g=6m/s²
        f=1500 N
（2）根據(jù)牛頓第二定律，
0～8s內(nèi)：F-mg-f=ma₁     F為探測(cè)器發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)產(chǎn)生的推力，
∴F=26250 N
（3）在行星表面根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式：

GMm0

R2

=m₀g  ③
M=ρ?

4

3

πR³      ④
由③④解得：ρ=

3g

4πRG

=3.58×10³ kg/m³
答：（1）該行星表面的重力加速度是6m/s²；
（2）探測(cè)器發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)產(chǎn)生的推力是26250 N；
（3）該行星的平均密度是3.58×10³ kg/m³．

點(diǎn)評(píng)：本題是為速度--時(shí)間圖象的應(yīng)用，要明確斜率的含義，能根據(jù)圖象讀取有用信息結(jié)合牛頓第二定律解題．