Question

（2011?洪山區(qū)模擬）我國(guó)降雨呈現(xiàn)南多北少的局面，有資料標(biāo)明武漢市的年平均降雨量為1260mm．在下雨天我們會(huì)明顯感覺(jué)到雨點(diǎn)越大，雨點(diǎn)對(duì)雨傘的沖擊力也就越大，這一現(xiàn)象能否說(shuō)明雨點(diǎn)越大，雨點(diǎn)落到地面的速度也就越大呢？現(xiàn)已知雨點(diǎn)下落過(guò)程受到的空氣阻力與雨點(diǎn)的最大橫截面積成正比，與雨點(diǎn)下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k為比例比例系數(shù)）．雨點(diǎn)接近地面時(shí)近似看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．若把雨點(diǎn)看作球形，其半徑為r，球體的體積為

4πr3

3

，雨點(diǎn)的密度為ρ，求：
（1）雨點(diǎn)最終的運(yùn)動(dòng)速度v_m．（用ρ、r、g、k表示）
（2）遇到的速度達(dá)到

vm

2

時(shí)，雨點(diǎn)的加速度a的大小．

Answer 1

分析：（1）雨點(diǎn)在下落過(guò)程中受到重力和空氣阻力作用，由于雨點(diǎn)接近地面時(shí)看做勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，重力等于摩擦力，由f=kSv²及球體質(zhì)量為ρV=ρ

4πr3

3

，即可求解；
（2）根據(jù)瞬時(shí)速度表示出空氣阻力，有牛頓第二定律即可求解．

解答：解：（1）雨點(diǎn)在下落過(guò)程中受到重力和空氣阻力作用，由于雨點(diǎn)接近地面時(shí)看做勻速運(yùn)動(dòng)，所以有：
f=mg　
由題意知：f=kSv²　
S=πr²　
m=ρ?

4

3

πr³　
聯(lián)立解得：v_m=2

pgr 3k

．
（2）當(dāng)雨點(diǎn)的速度達(dá)到

vm

2

時(shí)，空氣的阻力f′=kS（

vm

2

）²=

1

4

f　
由牛頓第二定律得：mg-f′=ma　
解得：a=

3

4

g．
答：（1）雨點(diǎn)最終的運(yùn)動(dòng)速度v_m=2

pgr 3k

（2）雨點(diǎn)的加速度a為

3

4

g．

點(diǎn)評(píng)：本題是實(shí)際問(wèn)題與物理模型相結(jié)合的題目，主要考查二力平衡和牛頓第二定律的應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．