Question

4．2014年11月23日，國(guó)際海事組織海上安全委員會(huì)審議通過了對(duì)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)認(rèn)可的航行安群通函，取得面向海事應(yīng)用的國(guó)際合法地位，到目前為止北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由5顆同步衛(wèi)星和30顆非同步衛(wèi)星組成，若已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬(wàn)有引力常量為G，將地球視為半徑為R，質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響，求：
（1）北斗衛(wèi)星系統(tǒng)中，地球同步衛(wèi)星軌道距地面的高度；
（2）設(shè)想地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑為r，太陽(yáng)的半徑R₀和地球的半徑R三者均減少2.0%，而太陽(yáng)和地球的密度均減為原來(lái)的0.25倍，僅考慮太陽(yáng)和地球相互間的作用，以現(xiàn)實(shí)地球的1年為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算“設(shè)想地球”的一年將變?yōu)槎嚅L(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）地球同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，則由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力可求得其離地高度；
（2）地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到太陽(yáng)的萬(wàn)有引力，萬(wàn)有引力提供向心力，計(jì)算地球的公轉(zhuǎn)周期，太陽(yáng)的質(zhì)量等于密度乘以太陽(yáng)的體積，代入化簡(jiǎn)，根據(jù)表達(dá)式和題中數(shù)據(jù)討論，地球的公轉(zhuǎn)周期的變化．

解答 解：（1）設(shè)同步軌道距地面高度為h，由萬(wàn)有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（2）地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到太陽(yáng)的萬(wàn)有引力．設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M_日，地球的質(zhì)量為M，地球的公轉(zhuǎn)周期為T_日，有：
$G\frac{{M}_{日}M}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{日}}^{2}}r$，
得：${T}_{日}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{G{M}_{日}}}$
設(shè)太陽(yáng)的密度為ρ，則太陽(yáng)的質(zhì)量M_日=$ρ\frac{4}{3}π{{R}_{0}}^{3}$，所以${T}_{日}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{3πr}^{3}}{Gρ{{R}_{0}}^{3}}}$，
可知，地球的公轉(zhuǎn)周期T_日僅與太陽(yáng)的密度、地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑和太陽(yáng)的半徑有關(guān)．當(dāng)?shù)厍蚶@太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑為r，太陽(yáng)的半徑R₀減少2.0%，而太陽(yáng)和地球的密度均減為原來(lái)的0.25倍，則有：
${T}_{日}′=2π\(zhòng)sqrt{\frac{3π（0．{98r）}^{3}}{G0.25ρ（0.98R）^{3}}}=2$×$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{3πr}^{3}}{Gρ{{R}_{0}}^{3}}}$=2T_日，所以“設(shè)想地球”的一年是現(xiàn)實(shí)地球的2年．
答：（1）北斗衛(wèi)星系統(tǒng)中，地球同步衛(wèi)星軌道距地面的高度為$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（2）“設(shè)想地球”的一年將變?yōu)?年．

點(diǎn)評(píng) 人造地球衛(wèi)星所受到的萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．