Question

7．某星球“一天”的時(shí)間是T=6h，用彈簧測(cè)力計(jì)在星球的“赤道”上比在“兩極”處測(cè)同一物體的重力時(shí)讀數(shù)小10%，設(shè)想該星球自轉(zhuǎn)的角速度加快，使赤道上的物體會(huì)自動(dòng)飄起來(lái)，這時(shí)星球的“一天”是多少小時(shí)？

Answer 1

分析 在兩極，因物體隨行星自轉(zhuǎn)半徑為零，無(wú)需向心力，其萬(wàn)有引力等于重力，在赤道上，我們把物體所受到的萬(wàn)有引力分解為自轉(zhuǎn)向心力和重力．
物體飄起相當(dāng)于行星的表面發(fā)射一顆環(huán)繞表面的衛(wèi)星，其軌道半徑近似等于星體半徑R．由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力可解的衛(wèi)星的周期T′．

解答 解：在兩極，因物體隨行星自轉(zhuǎn)半徑為零，無(wú)需向心力，其萬(wàn)有引力等于重力，即$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg；
在赤道上，萬(wàn)有引力產(chǎn)生了兩個(gè)作用效果，一是讓物體隨行星一起自轉(zhuǎn)，需要自轉(zhuǎn)向心力，二是讓物體來(lái)擠壓地面，產(chǎn)生重力．
即在赤道上，我們把物體所受到的萬(wàn)有引力分解為自轉(zhuǎn)向心力和重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg′+$\frac{{m4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
所以mg-mg′=0.1×$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{{m4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
物體飄起其運(yùn)動(dòng)的周期為T′，則　
F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{{m4π}^{2}}{{T′}^{2}}$R
0.1×$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{{m4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
解得：T′=$\frac{\sqrt{10}}{10}$T=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$h，
答：使赤道上的物體會(huì)自動(dòng)飄起來(lái)，這時(shí)星球的“一天”是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$h．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是找到物體和衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力的來(lái)源，并結(jié)合萬(wàn)有引力定律解決問(wèn)題．