Question

（2011?湛江二模）如圖所示，半徑為R的光滑

1

4

圓弧軌道與粗糙的斜面固定在同一豎直平面內(nèi)，C、D兩處與光滑水平軌道平滑連接，斜面與水平軌道的夾角為α．在水平軌道CD上，一輕質(zhì)彈簧被a和b兩個(gè)小物體壓縮（不拴接），彈簧和小物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)．今同時(shí)釋    放兩個(gè)小物體，物體a恰好能到達(dá)圓弧軌道最高點(diǎn)A，物體b恰好能到達(dá)斜面最高點(diǎn)B，已知物體b與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體a的質(zhì)量為m，物體b的質(zhì)量為2m，重力加速度為g．求：
（1）以CD所在的平面為重力勢能的參考面，小物體滑到圓弧軌道A點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能是多少？
（2）釋放小球前，彈簧的彈性勢能E_p；
（3）斜面高h(yuǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)重力勢能的公式Ep=mgh求出小物體在圓弧軌道A點(diǎn)的重力勢能，在A點(diǎn)的動(dòng)能為0，機(jī)械能等于動(dòng)能加上重力勢能．
（2）該題中a、b物體在被推開過程中，動(dòng)量守恒，mv_a=2mv_b，A物體的動(dòng)能可以通過機(jī)械能守恒

1

2

m

v

2 a

 =mgR求得，通過A、B速度的關(guān)系可以求出B物體的動(dòng)能，最后根據(jù)能量守恒定律EP=

1

2

m

v

2 a

 +

1

2

× 2m

v

2 b

求出彈簧的彈性勢能．
（3）對B物體運(yùn)用能量守恒，動(dòng)能的減小量等于重力勢能的增加量和摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能．即

1

2

×2 m

v

2 b

=μ?2mgcosα?

h

sinα

+ 2mgh．

解答：解：（1）以水平軌道CD為參考面，小物體a滑到圓弧最高點(diǎn)A時(shí)的機(jī)械能為E_a=mgR①
（2）設(shè)a、b被彈開后瞬間的速度分別為ν_a和ν_b，同時(shí)釋放兩個(gè)小物體的過程中，兩個(gè)小物體組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有：
mv_a=2mv_b    ②
小物體a恰好到達(dá)圓弧最高點(diǎn)A，根據(jù)機(jī)械能守恒，有：

1

2

m

v

2 a

 =mgR          ③
釋放兩個(gè)小物體的過程中，彈簧和兩個(gè)小物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：
EP=

1

2

m

v

2 a

 +

1

2

× 2m

v

2 b

       ④
聯(lián)立②③④式并解得  Ep=

3

2

mgR     ⑤
（3）小物體b恰好到達(dá)粗糙斜面的最高點(diǎn)B，根據(jù)能量守恒，有：

1

2

×2 m

v

2 b

=μ?2mgcosα?

h

sinα

+ 2mgh     ⑥
聯(lián)立②③⑥式并解得斜面的高度為
h=

Rsinα

4(sinα+μcosα)

        ⑦

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查動(dòng)量守恒定律，機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律的靈活應(yīng)用．