Question

（2009?海南）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形．質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v₀的初速度沿紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域．在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)．電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)．不計(jì)重力，求：
（1）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大��；
（2）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）由題意可確定出粒子運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑，則由洛侖茲力及牛頓第二定律可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）由幾何關(guān)系可得出最小磁場(chǎng)的兩個(gè)邊界，則由幾何關(guān)系即可求得磁場(chǎng)區(qū)域的面積．

解答：解：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．令圓弧

AEC

是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道．電子所受到的磁場(chǎng)的作用力f=ev₀B
應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外．圓弧

AEC

的圓心在CB邊或其延長(zhǎng)線上．依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B 點(diǎn)即為圓心，圓半徑為a按照牛頓定律有f=m

v 2 0

2

聯(lián)立①②式得B=

mv0

ea

（2）由（1）中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自C點(diǎn)垂直于BC入射電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中．因而，圓弧

AEC

是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界．
為了決定該磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界，我們來考察射中A點(diǎn)的電子的速度方向與BA的延長(zhǎng)線交角為θ（不妨設(shè)0≤θ＜

π

2

）的情形．該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡qpA如圖所示．
圖中，圓

AP

的圓心為O，pq垂直于BC邊，由③式知，圓弧

AP

的半徑仍為a，在D為原點(diǎn)、DC為x軸，AD為y軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）為x=asinθ
y=-[a-（a-acosθ）]=-acosθ
這意味著，在范圍0≤θ≤

π

2

內(nèi)，p點(diǎn)形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周

AFC

，它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線，構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界．
因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個(gè)四分之一圓周

AEC

和

AFC

所圍成的，其面積為S=2(

1

4

πa2-

1

2

a2)=

π-2

2

a2

點(diǎn)評(píng)：在帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)中，要注意圓心及半徑的確定；同時(shí)應(yīng)利用好幾何關(guān)系；此類問題對(duì)學(xué)生的要求較高，要求學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)功底；在做題時(shí)，要注意畫圖．