Question

15．如圖所示，xOy為空間直角坐標(biāo)系，真空中有一以原點(diǎn)為圓心的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，半徑為x₀，磁場(chǎng)垂直紙面向里．在x＞x₀的區(qū)域存在平行x軸，沿-x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，M點(diǎn)為磁場(chǎng)邊界與+y軸的交點(diǎn)，該點(diǎn)有一α粒子源不斷輻射出α粒子，在紙面內(nèi)從M點(diǎn)以相同的速率v，沿不同方向射入磁場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)沿-y方向射入磁場(chǎng)的α粒子穿出磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)后，速度減小到0．已知α粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q．（α粒子重力不計(jì)） 
（1）求圓形磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（2）由M點(diǎn)沿-y方向射入磁場(chǎng)的α粒子，穿出磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)后，返回再次穿出磁場(chǎng)，求該粒子從M點(diǎn)開始到再次出磁場(chǎng)時(shí)所運(yùn)動(dòng)的路程；
（3）沿與-y方向成60°角射入的α粒子，最終將從磁場(chǎng)邊緣的N點(diǎn)（圖中未畫出）穿出，求N點(diǎn)的坐標(biāo)和粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）首先要根據(jù)題目的要求，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力和圖象中的幾何關(guān)系，求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）使用運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式計(jì)算出粒子在電場(chǎng)中的最大位移，然后結(jié)合圖象中的幾何關(guān)系，求出粒子的路程；
（3）先根據(jù)題目提供的條件，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡和運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式，求出粒子在各段不同的軌跡上所用的時(shí)間，總時(shí)間為各段時(shí)間的和．

解答 解：（1）粒子穿出磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)后，速度減小到0，說明粒子平行x軸進(jìn)入電場(chǎng)，由粒子的路徑圖①可知，在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 R=x₀      
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得
 B=$\frac{mv}{q{x}_{0}}$       
（2）如圖①，粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)$\frac{1}{4}$圓弧后，進(jìn)入電場(chǎng)減速到0，在電場(chǎng)中減速的位移為
△x=$\frac{{v}^{2}}{2•\frac{qE}{m}}$=$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$
則粒子從M點(diǎn)開始到再次出磁場(chǎng)時(shí)所運(yùn)動(dòng)的路程為
  s=$\frac{1}{4}×2πR×2$+2△x=πx₀+$\frac{m{v}^{2}}{qE}$
（3）沿與-y方向成60°角射入的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖②所示，由P點(diǎn)水平出磁場(chǎng)，勻速運(yùn)動(dòng)至Q點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，速度會(huì)減小到0后返回，經(jīng)Q、P點(diǎn)再次進(jìn)入磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系可知，四邊形OPO₁M和OPO₂N都是菱形，故N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，-x₀）       
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的兩段圓弧所對(duì)應(yīng)圓心角之和為180°，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
  t₁=$\frac{T}{2}$=$\frac{2πR}{v}×\frac{1}{2}$=$\frac{π{x}_{0}}{v}$
由P到Q的時(shí)間 t₂=$\frac{{x}_{0}}{2v}$
在電場(chǎng)中減速的時(shí)間 ${t}_{3}=\frac{v}{a}$=$\frac{mv}{qE}$
則由M到N的總時(shí)間為 t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（π+1）{x}_{0}}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$
答：
（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 $\frac{mv}{q{x}_{0}}$；
（2）該粒子從M點(diǎn)開始到再次出磁場(chǎng)時(shí)所運(yùn)動(dòng)的路程為πx₀+$\frac{m{v}^{2}}{qE}$；
（3）N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-x₀），粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的總時(shí)間為$\frac{（π+1）{x}_{0}}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題能夠根據(jù)題目提供到達(dá)條件畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡是解題的關(guān)鍵．這也是解決粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的常規(guī)的要求．該題的難度比較大．