Question

1．如圖所示，水平地面上固定一個(gè)內(nèi)壁光滑的“J”形管ABC，“J”形管在豎直平面內(nèi)，BC部分是一個(gè)半徑為R的半圓管道，AB部分是一個(gè)長(zhǎng)度為2R的直管道，直管道AB垂直于半圓管道的直徑BC，直徑BC與豎直方向的夾角為θ（0°＜θ≤90°），將一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從A端由靜止沿管道釋放，重力加速度為g，求：
（1）當(dāng)θ取多大角度時(shí)，小球在直管道中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，最短時(shí)間為多少？
（2）當(dāng)θ取多大角度時(shí)，小球到達(dá)C端速度最大，最大速度為多少？

Answer 1

分析 （1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)位移時(shí)間公式求出時(shí)間的表達(dá)式即可；
（2）先根據(jù)幾何關(guān)系求出A到C的高度差，從A到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式求出C點(diǎn)的速度表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解最大值．

解答 解：（1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得：
a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ
根據(jù)2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{4R}{gsinθ}}$，
當(dāng)θ=90°時(shí)，t最短，最短時(shí)間為：${t}_{min}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
（2）根據(jù)幾何關(guān)系可知，A到C的高度差為：h=2Rsinθ+2Rcosθ，
從A到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg（2Rsinθ+2Rcosθ）$
解得：v=$\sqrt{4gR（sinθ+cosθ）}$=$\sqrt{2\sqrt{2}gRsin（θ+45°）}$，
當(dāng)θ=45°時(shí)，v最大，最大為${v}_{m}=\sqrt{2\sqrt{2}gR}$．
答：（1）當(dāng)θ取90°角度時(shí)，小球在直管道中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，最短時(shí)間為$\sqrt{\frac{4R}{g}}$；
（2）當(dāng)θ取45°角度時(shí)，小球到達(dá)C端速度最大，最大速度為$\sqrt{2\sqrt{2}gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式以及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，難度適中．