Question

18．一顆人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m，離地面的高度為h，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．
（1）用題目中的已知量表示出引力常量和地球質(zhì)量的乘積GM；
（2）求衛(wèi)星的速率；
（3）求衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的周期．

Answer 1

分析 （1）地球表面的物體所受重力和物體受到地球的萬有引力相等，由此得出GM；
（2）（3）衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)受到的萬有引力提供向心力，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的物理量之間的關(guān)系可得衛(wèi)星的線速度和周期．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量為 m．在地球表面由重力等于萬有引力得：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$      ①
所以：GM=gR²
（2）對(duì)人造地球衛(wèi)星受到地球的萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力得：
G$\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：v=$\sqrt{\frac{GMR}{（R+h）^{2}}}=\sqrt{\frac{g{R}^{3}}{（R+h）^{2}}}$
（3）對(duì)人造地球衛(wèi)星受到地球的萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力得：
G$\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$  ②
由①②解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{{g{R^2}}}}$
答：（1）表示出引力常量和地球質(zhì)量的乘積GM=gR²；
（2）衛(wèi)星的速率是$\sqrt{\frac{g{R}^{3}}{{（R+h）}^{2}}}$；
（3）人造衛(wèi)星繞地球的運(yùn)行周期是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{g{R}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力定律常用方程有（1）星球表面的重力和萬有引力相等；（2）環(huán)繞天體受到的萬有引力提供向心力．這是解決這類問題常用的方程，要注意環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)半徑的表述．