Question

（2008?南通三模）如圖Ox、Oy、Oz為相互垂直的坐標(biāo)軸，Oy軸為豎直方向，整個(gè)空間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為+q的小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀沿Ox軸正方向拋出（不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g）．求：
（1）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求場(chǎng)強(qiáng)E₁和小球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，使小球沿Ox軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求E₂的大�。�
（3）若在整個(gè)空間加一沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為

3mg

q

，求該小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O拋出后，經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的坐標(biāo)y和動(dòng)能E_k．

Answer 1

分析：（1）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力與電場(chǎng)力平衡，由平衡條件求出場(chǎng)強(qiáng)．由牛頓第二定律求出半徑．
（2）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，使小球沿Ox軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力的合力為零，根據(jù)平衡條件求出場(chǎng)強(qiáng)．
（3）若在整個(gè)空間加一沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球在復(fù)合場(chǎng)中做螺旋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用分解法研究坐標(biāo)y和動(dòng)能E_k．

解答：解：（1）由于小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌道半徑為r，則
  qE₁=mg解得  E1=

mg

q

，方向沿y軸正向
又qvB=m

v 2 0

r

，解得  
r=

mv0

qB

（2）小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，則
 qE2=

(mg)2+(qv0B)2

解得  E2=

( mg q )2+ v 2 0 B2

（3）小球在復(fù)合場(chǎng)中做螺旋運(yùn)動(dòng)，可以分解成水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和沿y軸方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度   a=

qE3-mg

m

=2g
從原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)y軸時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間  
 t=nT
 y=

1

2

at2
解得  y=

4n2π2m2g

q2B2

（n=1、2、3…）
由動(dòng)能定理得  (qE3-mg)y=Ek-

1

2

mv02
解得  Ek=

1

2

mv02+

8n2π2m3g2

q2B2

（n=1、2、3…）
答：
（1）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，場(chǎng)強(qiáng) E1=

mg

q

，方向沿y軸正向．小球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r=

mv0

qB

．
（2）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，使小球沿Ox軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，E₂的大小得 E2=

( mg q )2+ v 2 0 B2

；
（3）該小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O拋出后，經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的坐標(biāo)y=

4n2π2m2g

q2B2

（n=1、2、3…），動(dòng)能為Ek=

1

2

mv02+

8n2π2m3g2

q2B2

（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要掌握物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件，分析受力情況是基礎(chǔ)．對(duì)于小球做螺旋運(yùn)動(dòng)，采用運(yùn)動(dòng)的分解法研究是常用方法．