Question

17．如圖（所示，光滑水平面上，質(zhì)量為2m的小球B連接著輕質(zhì)彈簧，處于靜止；質(zhì)量為m的小球A以初速度v₀向右勻速運(yùn)動(dòng)，接著逐漸壓縮彈簧并使B運(yùn)動(dòng)，過一段時(shí)間A與彈簧分離．（彈簧始終處于彈性限度以內(nèi)）
①在上述過程中，彈簧的最大彈性勢能多大．
②若開始時(shí)在小球B的右側(cè)某位置固定一塊擋板（圖中未畫出），在小球A與彈簧分離前使小球B與擋板發(fā)生正撞，并在碰后立刻將擋板撤走．設(shè)小球B與固定擋板的碰撞時(shí)間極短，碰后小球B的速度大小不變但方向相反．設(shè)此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)A、B速度相同時(shí)，彈簧的勢能最大，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢能．
（2）對B球與擋板碰撞前瞬間和B與擋板碰后反彈，當(dāng)A、B速度相等兩個(gè)過程運(yùn)用動(dòng)量守恒定律，通過能量守恒求出最大彈性勢能與B速度的表達(dá)式．通過對B速度最大值的范圍得出彈簧彈性勢能最大值的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)A球與彈簧接觸以后，在彈力作用下減速運(yùn)動(dòng)，而B球在彈力作用下加速運(yùn)動(dòng)，彈簧勢能增加，當(dāng)A、B速度相同時(shí)，彈簧的勢能最大．
設(shè)A、B的共同速度為v，彈簧的最大勢能為E，則A、B系統(tǒng)動(dòng)量守恒：mv₀=（m+2m）v…①
由機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+2m）v²+E_P…②
聯(lián)立兩式得：E_P=$\frac{1}{3}$mv₀²…③
（2）設(shè)B球與擋板碰撞前瞬間的速度為v_B，此時(shí)A的速度為v_A．
系統(tǒng)動(dòng)量守恒：mv₀=mv_A+2mv_B…④
B與擋板碰后，以v_B向左運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧，當(dāng)A、B速度相同（設(shè)為v_共）時(shí)，彈簧勢能最大，為E_m，則：
  mv_A-2mv_B=3mv_共…⑤
 $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$•3mv_共+E_m…⑥
由④⑤兩式得：v_共=$\frac{{v}_{0}-4{v}_{B}}{3}$
代入⑥式，化簡得：E_m=$\frac{8m}{3}$[-（v_B-$\frac{{v}_{0}}{4}$）²+$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16}$]…⑦
而當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)相碰，v_B有最大值v_Bm，則：
   mv₀=mv_A′+2mv_Bm           
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A′²+$\frac{1}{2}$×2mv_Bm²
聯(lián)立以上兩式得：v_Bm=$\frac{2}{3}$v₀，即v_B的取值范圍為：0＜v_B≤$\frac{2}{3}$v₀…⑧
結(jié)合⑦式可得：當(dāng)v_B=$\frac{{v}_{0}}{4}$時(shí)，E_m有最大值為：$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$…⑨
當(dāng)v_B=$\frac{2}{3}{v}_{0}$時(shí)，E_m有最小值為：$\frac{1}{27}m{v}_{0}^{2}$
所以此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍為[$\frac{1}{27}m{v}_{0}^{2}$，$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$]．
答：（1）彈簧的最大彈性勢能是$\frac{1}{3}$mv₀²．
（2）此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍為[$\frac{1}{27}m{v}_{0}^{2}$，$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$]．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵理清兩球的運(yùn)動(dòng)過程，多次運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律時(shí)要注意選取正方向．