Question

如圖半徑分別為2R和R的甲、乙兩光滑圓形軌道固定放置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條水平軌道CD相連，曲面軌道與水平面軌道在B處光滑連接（物塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)沒有機(jī)械能損失），現(xiàn)有一小物塊從斜面上高h(yuǎn)處的A點(diǎn)由靜止釋放，曲面軌道以及水平軌道BC段是光滑的，小物塊與CD段以及D右側(cè)的水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ．已知小物塊通過甲軌道最高點(diǎn)時(shí)與軌道間壓力為物塊重力的3倍，而后經(jīng)過有摩擦的CD段后又進(jìn)入乙軌道運(yùn)動(dòng)．
（1）求初始釋放物塊的高度h
（2）為避免出現(xiàn)小物塊脫離圓形軌道乙而發(fā)生撞軌現(xiàn)象，則CD段的長度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合在最高點(diǎn)重力和壓力的合力提供向心力求出初始釋放物塊的高度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出小物塊在乙軌道最高點(diǎn)的最小速度，通過動(dòng)能定理求出CD段的長度應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得，
mg(h-4R)=

1

2

mvp2----------①
根據(jù)牛頓第二定律得，mg+Np=m

vp2

2R

----------②
已知 N_p=3mg
得 h=8R---------③
（2）若能通過最高點(diǎn)有：
mg(h-2R)-μmgx=

1

2

mvQ2----------④
NQ+mg=m

vQ2

R

----------⑤
因?yàn)镹_Q≥0 所以有vQ≥

gR

----------⑥
得x=

h-2R

μ

-

vQ2

2μg

得x≤

11R

2μ

----------⑦
若不能到達(dá)圓心對(duì)應(yīng)的水平線以上，則速度可減小到零，設(shè)能上升的高度為h′，有：mg（h-h′）-μmgx=0----------⑧
h′≤R----------⑨
得x≥

7R

μ

----------⑩
答：（1）初始釋放物塊的高度為8R．
（2）CD段的長度應(yīng)滿足x≥

7R

μ

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，難度中等，需加強(qiáng)這方面題型的訓(xùn)練．