Question

16．周末，小明在迎澤公園乘坐了一次驚險(xiǎn)刺激的過山車（如圖1），意猶未盡．回家后設(shè)計(jì)了如圖2所示的玩具．將一個(gè)小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從足夠長(zhǎng)的光滑斜面AB上的某一高度處由靜止滑下，斜面底端緊接著一個(gè)光滑的圓軌道，滑出圓軌道后經(jīng)過粗糙的水平軌道BC，最后落入右側(cè)的槽CDEF中即為勝利．已知圓軌道半徑R=0.2m，滑塊與軌道BC的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，BC的長(zhǎng)度L=1.1m，CD的高度H₁=0.45m，DE的長(zhǎng)度d=0.6m，F(xiàn)E的高度H₂=0.25m，取g=10m/s²，求：
（1）若要滑塊能夠通過圓軌道，至少?gòu)亩喔咛幓�下�?br />（2）若要取得勝利，滑塊釋放的高度范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出圓軌道最高點(diǎn)的最小速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出滑塊下滑的最小高度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出滑塊剛好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)下落的高度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出C點(diǎn)的最大速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出最大高度，從而得出高度的范圍．求解時(shí)要注意滑塊要能通過圓軌道的最高點(diǎn)．

解答 解：（1）滑塊在最高點(diǎn)重力提供向心力，有：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
由A到軌道最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：mg（h₀-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0，
代入數(shù)據(jù)解得h₀=0.5m．
（2）設(shè)BC足夠長(zhǎng)，當(dāng)滑塊從h₀處滑下時(shí)，在BC段滑行的長(zhǎng)度為L(zhǎng)₀
mg h₀-μmgL₀=0，
代入數(shù)據(jù)解得L₀=1m＜1.1m，滑塊無法到達(dá)C點(diǎn)．
設(shè)滑塊正好到達(dá)C點(diǎn)下滑的高度為h₁：mgh₁-μmgL=0，
代入數(shù)據(jù)解得h₁=0.55m．
滑塊通過C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)正好落到F時(shí)，在C點(diǎn)的速度為v₀
H₁-H₂=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
d=v₀t，
mgh₂-μmgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-0$，
代入數(shù)據(jù)解得h₂=1m，
可知滑塊釋放的高度范圍為：0.55m＜h＜1m．
答：（1）若要滑塊能夠通過圓軌道，至少?gòu)?.5m的高處滑下；
（2）若要取得勝利，滑塊釋放的高度范圍是0.55m＜h＜1m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定理和圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．