Question

12．如圖所示，在水平地面上固定一個半徑為R的半圓形軌道，其中圓弧部分光滑，水平段長為L，一質(zhì)量為m的小物塊緊靠一根被壓縮的彈簧固定在水平軌道的最右端，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)突然釋放小物塊，小物塊被彈出，恰好能夠到達圓弧軌道的最高點A，重力加速度為g，彈簧長度忽略不計，求：
（1）小物塊運動到圓弧軌道的最低點O′點時對軌道的壓力；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出小物塊在圓弧軌道的最高點和最低點的速度，有最低點到最高點的過程中，機械能守恒，在最低點時，合力提供向心力，再結(jié)合牛頓第二定律和第三定律即可求得在軌道的最低點O′點時對軌道的壓力．
（2）分析從釋放小物塊到運動到圓弧最低點的過程中的能量的轉(zhuǎn)化，利用動能定理可得知小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能．

解答 解：設(shè)小物塊被彈簧彈出時的速度大小為v₁，到達圓弧軌道的最低點時速度大小為v₂，到達圓弧軌道的最高點時速度大小為v₃．
（1）因為小物塊恰好能到達圓弧軌道的最高點，故向心力剛好由重力提供，設(shè)在最高點時的速度為v₃，有：$\frac{{m{v_3}^2}}{R}=mg$
設(shè)在最低點時的速度為v₂，小物塊在圓弧軌道上從最低點運動到最高點的過程中，由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v_2}^2=mg×2R+\frac{1}{2}m{v_3}^2$
小物塊運動到圓弧軌道最低點O′點時受到的支持力和重力的合力提供向心力，有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上三式解得：F_N=6mg
由牛頓第三定律可得壓力與支持力為作用力和反作用力，有：${F_N}^′={F_N}=6mg$
（2）設(shè)小物塊被彈出時的速度為v₁，小物塊被彈簧彈出到運動到圓弧軌道的最低點的過程中由動能定理可得：$-μmg×L=\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$
小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能轉(zhuǎn)化為小物塊被彈出時的動能，故有：E_p=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$
解得：E_p=$\frac{5}{2}$mgR+μmgL
答：（1）小物塊運動到圓弧軌道的最低點O′點時對軌道的壓力為6mg；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能為$\frac{5}{2}$mgR+μmgL．

點評 該題考查到了向心力、機械能的守恒以及動能定理等知識，對于向心力的問題，分析哪些力提供了向心力是解題的關(guān)鍵，可以牢記“沿半徑方向上的所有力的合力提供向心力”；利用機械能守恒解題，緊扣只有重力和彈力做功這一條件；對于動能定理，要分析初末兩個狀態(tài)的動能這兩個狀態(tài)量，同時要弄清楚運動過程中有哪些力做了功，是做正功還是負功．