Question

如圖所示，A為位于一定高度處的質(zhì)量為m的小球，初速為零。B為位于水平地面上的質(zhì)量為M的用特殊材料制成的長方形空心盒子，且M=2m，盒子與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.2，設(shè)當(dāng)小球進(jìn)入盒內(nèi)后即發(fā)生豎直方向的相互作用，相互作用力的大小為2mg，小球受到的盒子的作用力方向豎直向上，盒子受到的小球的作用力方向豎直向下，小球在盒外時(shí)沒用相互作用。盒子的上表面開有一系列略大于小球的小孔，孔間距滿足一定的關(guān)系，使得小球進(jìn)出盒子的過程中始終不與盒子接觸．當(dāng)小球A以v=1m/s的速度從孔1進(jìn)入盒子的瞬間，盒子B恰以v₁=6 m/s的初速度向右滑行．設(shè)盒子足夠長，取重力加速度g=10m/s²，小球恰能依次從各個(gè)小孔進(jìn)出盒子，且不與盒子底部相碰。試求：

(1）小球A從第一次進(jìn)入盒子到第二次進(jìn)入盒子所經(jīng)歷的時(shí)間；

(2）盒子上至少要開多少個(gè)小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸；

(3) 從小球第一次進(jìn)入盒子至盒子停止運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子通過的總路程．

Answer 1

  （1）A在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，         　　a＝g                           

A在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間    A在盒子外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間     

A從第一次進(jìn)入盒子到第二次進(jìn)入盒子的時(shí)間                  （2分）

（2）小球在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，盒子的加速度              （1分）

小球在盒子外運(yùn)動(dòng)時(shí)，盒子的加速度                      （1分）

小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期盒子減少的速度為       （2分）

從小球第一次進(jìn)入盒子到盒子停下，小球運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為       

故要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數(shù)至少為2n+1個(gè)，即11個(gè)．   （2分）

（3）小球第一次在盒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子前進(jìn)的距離為

                                                 

小球第一次從盒子出來時(shí)，盒子的速度                 

小球第一次在盒外運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子前進(jìn)的距離為     

小球第二次進(jìn)入盒子時(shí)，盒子的速度                        

小球第二次在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子前進(jìn)的距離為    

小球第二次從盒子出來時(shí)，盒子的速度                     

小球第二次在盒外運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子前進(jìn)的距離為     

分析上述各組數(shù)據(jù)可知，盒子在每個(gè)周期內(nèi)通過的距離為一等差數(shù)列，    （6分）[

公差d＝0.12m．且當(dāng)盒子停下時(shí)，小球恰要進(jìn)入盒內(nèi)，最后0.2s內(nèi)盒子通過的路程為0.04m．

所以從小球第一次進(jìn)入盒子至盒子停止運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子通過的總路程為

                                    （2分）