Question

【題目】某根水平固定的長(zhǎng)滑竿上有n(n≥3)個(gè)質(zhì)量相同的滑扣(即可以滑動(dòng)的圓環(huán))，每相鄰的兩個(gè)滑扣(極薄)之間有不可伸長(zhǎng)的柔軟輕質(zhì)細(xì)線相連，細(xì)線長(zhǎng)度均為L，滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恒為滑扣對(duì)滑竿正壓力大小的μ倍。開(kāi)始時(shí)所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互擠壓)；今給第1個(gè)滑扣一個(gè)初速度使其在滑竿上開(kāi)始向左滑行(平動(dòng))；在滑扣滑行的過(guò)程中，前、后滑扣之間的細(xì)線拉緊后都以共同的速度向前滑行，但最后一個(gè)(即第n個(gè))滑扣固定在滑竿邊緣。已知從第1個(gè)滑扣開(kāi)始的(n一1)個(gè)滑扣相互之間都依次拉緊，繼續(xù)滑行距離l(0<l<L)后靜止，且所有細(xì)線拉緊過(guò)程的時(shí)間間隔極短。求：

（1）滑扣1的初速度的大�。�

（2）整個(gè)過(guò)程中克服摩擦力所做的功；

（3）整個(gè)過(guò)程中僅僅由于細(xì)線拉緊引起的總動(dòng)能損失。

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】

（1）為普遍起見(jiàn)，設(shè)兩個(gè)物體質(zhì)量分別為m1和m2，初速度分別為v1和0，發(fā)生完全非彈性碰撞后共同速度為v，則碰前的動(dòng)能

E= ①

由于細(xì)繩拉緊前后時(shí)間間隔極短，可以忽略摩擦阻力，故前后動(dòng)量守恒，有

m1v1=(m1+m2)v ②

碰后的動(dòng)能之和(即系統(tǒng)剩余動(dòng)能)為

E′= ③

由①②③式得

E′= ④

此式為后續(xù)計(jì)算的通式，后續(xù)計(jì)算特別簡(jiǎn)單，因?yàn)橘|(zhì)量相等

損失的動(dòng)能為

ΔE=E－E′=

設(shè)第1個(gè)滑扣以速度v10開(kāi)始運(yùn)動(dòng)

E0= ⑤

在第1個(gè)滑扣滑動(dòng)距離L、第1與第2個(gè)滑扣之間的細(xì)繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動(dòng)能為

E1f=E0－μmgL ⑥

在第1個(gè)滑扣與第2個(gè)滑扣之間的細(xì)繩剛拉緊后的瞬前，系統(tǒng)剩余動(dòng)能為(根據(jù)④式)

E20== ⑦

在第1、2個(gè)滑扣共同滑動(dòng)距離L、第2與第3個(gè)滑扣之間的細(xì)繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動(dòng)能為

E2f=E20－2μmgL== ⑧

在第2個(gè)滑扣與第3個(gè)滑扣之間的細(xì)繩剛拉緊后的瞬前，系統(tǒng)剩余動(dòng)能為(根據(jù)④式)

E30== ⑨

在第1、2、3個(gè)滑扣共同滑動(dòng)距離L、第3與第4個(gè)滑扣之間的細(xì)繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動(dòng)能為 E3f=E30－3μmgL=－3μmgL= ⑩

……

依次類推，在第k個(gè)與第k+1個(gè)滑扣之間的細(xì)繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動(dòng)能為

Ekf==

= 1≤k≤n－2

于是，在第(n－2)個(gè)與第(n－1)個(gè)滑扣之間的細(xì)繩剛拉緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動(dòng)能為

E(n－2)f = ⑾

在第(n－2)個(gè)與第(n－1)個(gè)滑扣之間的細(xì)繩剛拉緊后的瞬間，系統(tǒng)剩余動(dòng)能為

E(n－1)0= = ⑿

(可類比⑦、⑨，并代入⑾得到)

由⑾知，E(n－2)f >0

>0

E(n－1)f <0

<0，

得

<E0<

本式題目中沒(méi)有要求的，相當(dāng)于給出了待求量的定義域

則從第1個(gè)滑扣開(kāi)始的(n－1)個(gè)滑扣都依次拉緊，且可繼續(xù)滑行距離l(0<l<L)后靜止。因而有

E(n－1)0= =(n－1) μmgl (因?yàn)橐�繼續(xù)滑行距離l) ⒀

由⑤⒀得滑扣1的初速度的大小

v10

（2）整個(gè)過(guò)程中克服摩擦力所做的功為

W=μmgL+μ(2m)gL+μ(3m)gL+……+μ[(n－2)m]gL+μ[(n－1)m]gl=

（3）在整個(gè)過(guò)程中僅僅由于細(xì)線拉緊引起的總能量損失為