Question

如圖所示，Oxyz為空間直角坐標(biāo)系，其中Oy軸正方向豎直向上．在整個(gè)空間中存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的帶電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀沿Ox軸正方向射出，重力加速度為g，空氣阻力可忽略不計(jì)．
（1）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小，以及小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)第一次通過z軸的z坐標(biāo)；
（2）若改變第（1）問中所加電場(chǎng)的大小和方向，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出恰好沿Ox軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)所加勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大�。�
（3）若保持第（2）問所加的勻強(qiáng)電場(chǎng)不變而撤去原有的磁場(chǎng)，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀沿Ox軸正方向射出后，將通過A點(diǎn)，已知A點(diǎn)的x軸坐標(biāo)數(shù)值為x_A，求小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力做功的功率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)重力與電場(chǎng)力平衡，及牛頓第二定律與向心力公式，即可求解；
（2）根據(jù)三力平衡，及洛倫茲力的大小與方向，即可求解；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，與牛頓第二定律，及運(yùn)動(dòng)的分解，并知道瞬時(shí)功率，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)所加電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E₁，由于帶電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出在電場(chǎng)和磁場(chǎng)共存的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以帶電小球受到的電場(chǎng)力必定與重力平衡，有：qE₁=mg．
解得：E1=

mg

q

設(shè)帶電小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式：qv0B=

mv02

R

，
解得：R=

mv0

Bq

帶電小球第一次通過z軸的z坐標(biāo)為：z=-2R=-

2mv0

Bq

（2）設(shè)所加電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E₂，帶電小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，它所受重力mg、洛倫茲力qv₀B以及電場(chǎng)力qE₂三力合力為零．
因洛倫茲力沿z軸的負(fù)方向，重力沿y軸的負(fù)方向，
所以電場(chǎng)力：qE2=

(mg)2+(qv 0B)2

解得：E2=

1

q

(mg)2+(qv 0B)2

（3）當(dāng)撤去磁場(chǎng)后，帶電小球只受電場(chǎng)力和重力作用，這兩個(gè)力的合力大小為qv₀B，方向指向Oz正方向，
所以小球在xOz平面做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)．
帶電小球沿Ox軸正方向以v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用時(shí)間為：t=

xA

v0

帶電小球沿Oz軸正方向做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度大小為：az=

qv0B

m

 帶電小球到A點(diǎn)時(shí)沿Oz正方向的分速度大小為：v_z=a_zt
因重力在這個(gè)過程中不做功，小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力做功的功率等于合外力在此時(shí)的瞬時(shí)功率，
解得：P_A=qv₀Bv_z=

q2B2v0xA

m

答：（1）則所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E1=

mg

q

，以及小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)第一次通過z軸的z坐標(biāo)-

2mv0

Bq

；
（2）則此時(shí)所加勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E2=

1

q

(mg)2+(qv 0B)2

；
（3）小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力做功的功率=

q2B2v0xA

m

．

點(diǎn)評(píng)：考查受力分析與平衡狀態(tài)，掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律綜合應(yīng)用，理解運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法，并注意瞬時(shí)功率與平均功率的區(qū)別．