Question

如圖所示，半徑R=0.2m的圓盤水平放置，繞豎直軸OO′勻速動(dòng)轉(zhuǎn)，在圓心O正上方h=0.8m高處固定一水平軌道PQ，轉(zhuǎn)軸和水平軌道交于O′點(diǎn)．一質(zhì)量m=1kg的小車（可視為質(zhì)點(diǎn)），在F=4N的水平恒力作用下，從O′左側(cè)x₀=1m處由靜止開始沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到O′點(diǎn)時(shí)，從小車上自由釋放一小球，此時(shí)圓盤半徑OA與x軸重合．規(guī)定經(jīng)過O點(diǎn)水平向右為x軸正方向．小車與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s²．
（1）若小球剛好落到A點(diǎn)，求小車運(yùn)動(dòng)到O′點(diǎn)的速度；
（2）為使小球剛好落在A點(diǎn)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為多大？
（3）為使小球能落到圓盤上，求水平拉力F作用的距離范圍．

Answer 1

分析：（1）物塊離開O′點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，可以求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，從而得出小車運(yùn)動(dòng)到O′點(diǎn)速度．
（2）若圓盤轉(zhuǎn)一圈，物塊恰好調(diào)入小桶，此時(shí)作用力時(shí)間最短．圓盤轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間與平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相等．從而得出圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度最小值．也有可能在平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)N圈．因此求出轉(zhuǎn)動(dòng)角速度．
（3）小球能落在圓盤上，則可利用平拋運(yùn)動(dòng)，可求出小球拋出的速度范圍，從而得出小球的加速度的范圍．最終運(yùn)用牛頓第二定律可求出水平拉力的距離范圍．

解答：解：（1）小球離開小車后，由于慣性，將以離開小車時(shí)的速度作平拋運(yùn)動(dòng)，h=

1

2

gt2
R=vt
小車運(yùn)動(dòng)到O′點(diǎn)的速度v=

R

t

=0.5m/s
（2）為使小球剛好落在A點(diǎn)，則小球下落的時(shí)間為圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)周期的整數(shù)倍，有t=kT=

2kπ

ω

，其中k=1，2，3…
即ω=2kπ

g 2h

=5kπrad/s，其中k=1，2，3…
（3）小球若能落到圓盤上，其在O′點(diǎn)的速度范圍是：0＜v≤0.5m/s
設(shè)水平拉力作用的最小距離與最大距離分別為x₁、x₂，對(duì)應(yīng)到達(dá)O′點(diǎn)的速度分別為0、1m/s．
由動(dòng)能定理，有 Fx₁-μmgx₀=0
代入數(shù)據(jù)解得x₁=0.5m
根據(jù)動(dòng)能定理，有 Fx2-μmgx0=

1

2

mv2-0
代入數(shù)據(jù)解得x₂=0.53m或

17

32

m
則水平拉力F作用的距離范圍 0.5m＜x≤0.53m
答：（1）若小球剛好落到A點(diǎn)，求小車運(yùn)動(dòng)到O′點(diǎn)的速度0.5m/s．
（2）為使小球剛好落在A點(diǎn)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為ω=2kπ

g 2h

=5kπrad/s，其中k=0，1，2，3…
（3）為使小球能落到圓盤上，求水平拉力F作用的距離范圍  0.5m＜x≤0.53m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道物塊整個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)：勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻減速直線運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，知道三個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間相等．以及熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式．