Question

（2011?鄭州模擬）如圖所示，矩形區(qū)域MNPQ內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)；在y≥0的區(qū)域內(nèi)還存在垂直于坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．半徑為R的光滑絕緣空心半圓細(xì)管ADO固定在豎直平面內(nèi)，半圓管的一半處于電場(chǎng)中，圓心O₁為MN的中點(diǎn)，直徑AO垂直于水平虛線MN．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓管的A點(diǎn)由靜止滑入管內(nèi)，從O點(diǎn)穿出后恰好通過O點(diǎn)正下方的C點(diǎn)．已知重力加速度為g，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=

4mg

3q

．求：
（1）小球到達(dá)O點(diǎn)前一時(shí)刻，圓管對(duì)它作用力的大��；
（2）矩形區(qū)域MNPQ的高度H和寬度L應(yīng)滿足的條件；
（3）從O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間小球的動(dòng)能最��？

Answer 1

分析：（1）小球從A到O的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求得O點(diǎn)速度，到達(dá)O點(diǎn)前一時(shí)刻，根據(jù)牛頓第二定律求得作用力．
（2）小球從O到C 的過程中，水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解，把加速度分解，分別在水平方向上和豎直方向上求位移．
（3）當(dāng)F_合與速度v的方向垂直時(shí)，小球的動(dòng)能最小，把運(yùn)動(dòng)分解到水平方向上和豎直方向上求解時(shí)間．

解答：解：（1）小球從A到O的過程，由動(dòng)能定理得mg(2R)-qER=

1

2

m

v

2 0

v0=

4gR 3

到達(dá)O點(diǎn)前一時(shí)刻，根據(jù)牛頓第二定律   FN-mg-qv0B=

m v 2 0

R

圓管對(duì)小球的作用力         FN=

7

3

mg+qB

4gR 3

（2）小球從O到C 的過程中，水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)
ax=

4

3

g
a_y=g
設(shè)向左減速時(shí)間為t
t=

v0

a

=

3R 4g

水平位移大小       x=

1

2

v0t=

R

2

豎直位移大小       y=

1

2

g(2t)2=

3R

2

高度滿足條件H≥

3R

2

+R=

5

2

R   
寬度應(yīng)滿足L≥

R

2

+R=

3R

2

（3）當(dāng)F_合與速度v的方向垂直時(shí)，小球的動(dòng)能最小，
設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為t
vy=gt，vx=v0-axt=v0-

4g

3

t
cotθ=

qE

mg

=

4

3

，
v_y=v_xcotθ；
可解得t=

8

25

3R g

法二：vy=gt，vx=v0-axt=v0-

4g

3

t
v2=v2x+v2y=

25g2

9

t2-

8

3

g

4gR 3

t+

4gR

3

當(dāng)t=

8

25

3R g

時(shí)，函數(shù)v²有最小值，動(dòng)能有最小值．
答：（1）小球到達(dá)O點(diǎn)前一時(shí)刻，圓管對(duì)它作用力的大小為FN=

7

3

mg+qB

4gR 3

．
（2）矩形區(qū)域MNPQ的高度H滿足的條件為H≥

3R

2

+R=

5

2

R；寬度L應(yīng)滿足的條件為L≥

R

2

+R=

3R

2

．
（3）從O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過t=

8

25

3R g

，小球的動(dòng)能最�。�

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用動(dòng)能定理解題需合適地選取研究的過程，根據(jù)動(dòng)能定理列出表達(dá)式求解．此題有一定的難度，屬于中檔題．