Question

如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板，其上有一質(zhì)量為m的物塊，它與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，開始時(shí)長(zhǎng)木板與小物塊均靠在與水平面垂直的左邊固定擋板處以共同的速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)長(zhǎng)木板與右邊固定豎直擋板碰撞后立即以大小相同的速率反向運(yùn)動(dòng)，且左右擋板之間的距離足夠長(zhǎng)．
（1）若m＜M，試求要使物塊不從長(zhǎng)木板上落下，長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度．
（2）若物塊不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，試計(jì)算長(zhǎng)木板與擋板第3次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能大小及第n次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）由于小物塊與長(zhǎng)木板存在摩擦力，系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少，所以小物塊第一次與擋板碰撞后兩者相對(duì)速度最大，第1次小物塊若不能從長(zhǎng)木板上掉下，往后每次相對(duì)滑動(dòng)的距離會(huì)越來越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物塊恰好不從木板上掉下時(shí)，兩者速度相同，而且物塊恰好滑到木板的另一端，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出第一次碰撞后兩者的共同速度，由能量守恒定律求出長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度L最小值．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出1、2、3次碰撞后物塊與木板的共同速度，尋找規(guī)律，再求解整個(gè)系統(tǒng)在第n次碰撞前損失的所有機(jī)械能．

解答：解：（1）長(zhǎng)木板與右邊擋板第一次碰撞后，物塊在長(zhǎng)木板上以速度v₀作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因左右擋板之間的距離足夠長(zhǎng)，當(dāng)木塊與長(zhǎng)木板以共同速度v₁向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊在長(zhǎng)木板上移動(dòng)的距離最遠(yuǎn)（設(shè)為L(zhǎng)），此時(shí)物塊在長(zhǎng)木板上不掉下，則在以后的運(yùn)動(dòng)中物塊也不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下．因?yàn)槊看闻鲎埠笪飰K相對(duì)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的加速度相同，物塊相對(duì)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的末速度也相同且為0，而第一次碰撞后物塊相對(duì)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的初速度最大，所以第一次碰撞后物塊相對(duì)長(zhǎng)木板的位移也最大．
由動(dòng)量守恒和能量守恒可得：
（M-m）v₀=（M+m）v_1①

1

2

（M+m）v₀²-

1

2

（M+m）v₁²=μmgL②
由①②兩式可得：L=2Mv₀²

1

μ(M+m)g

即要使物塊不從長(zhǎng)木板上掉下，長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度應(yīng)為：L=2Mv₀²

1

μ(M+m)g

（2）長(zhǎng)木板與擋板第二次碰撞前系統(tǒng)所損失的機(jī)械能為△E₁，則由能量守恒可得：
△E₁=

1

2

（M+m）v₀²-

1

2

（M+m）v₁²③
由①③式可得：△E₁=2Mmv₀²

1

M+m

④
長(zhǎng)木板與擋板第二次碰撞后到物塊與長(zhǎng)木板第二次以共同速度v₂向右運(yùn)動(dòng)，直到長(zhǎng)木板與擋板第3次碰撞前，系統(tǒng)所損失的機(jī)械能為△E₂，由動(dòng)量守恒和能量守恒可得：
（M-m）v₁=（M+m）v_2⑤
△E₂=

1

2

（M+m）v₁²-

1

2

（M+m）v₂²⑥
由⑤⑥二式可得：△E₂=2Mmv₁²

1

M+m

=

2Mm

(M+m)

v

2 0

(

M-m

M+m

)2⑦
故長(zhǎng)木板與擋板第3次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：
由⑥⑦二式可得：△E=△E₁+△E₂=

2Mm M+m v 2 0 {1-[( M-m M+m )2]2}

1-( M-m M+M )2

⑧
將數(shù)據(jù)代入式可得：△E=148.1J⑨
由④⑦二式可得：長(zhǎng)木板與板第（n-1）次碰撞后到長(zhǎng)木板與擋板第n次碰撞前，系統(tǒng)所損失的機(jī)械能為△E_（n-1），由等比數(shù)列公式可得：
則：△E_（n-1）=△E1?

2Mm

(M+m)

v

2 0

[(

M-m

M+m

)2](n-1)⑩
所以長(zhǎng)木板與擋板第n次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：
△E_總=

2Mm M+m v 2 0 {1-[( M-m M+m )2](n-1)}

1-( M-m M+m )2

=150[1-(

1

9

)(n-1)]
答：（1）若m＜M，要使物塊不從長(zhǎng)木板上落下，長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度是2Mv₀²

1

μ(M+m)g

（2）若物塊不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，長(zhǎng)木板與擋板第3次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能大小是148.1J
第n次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能表達(dá)式是

2Mm M+m v 2 0 1-[( M-m M+m )2](n-1)

1-( M-m M+m )2

．

點(diǎn)評(píng)：本題采用數(shù)學(xué)歸納法研究多次碰撞過程遵守的規(guī)律，考查分析和處理復(fù)雜運(yùn)動(dòng)過程的能力．