Question

20．水平放置的氣墊導(dǎo)軌上放有兩個(gè)滑塊A和B，質(zhì)量分別為m和2m，其中B左側(cè)安裝一質(zhì)量很小的彈簧，現(xiàn)給A一水平向右的大小為v₀的初速度．
（i）在不計(jì)彈簧質(zhì)量的情況下，當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，求彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p．
（ii）現(xiàn)考慮彈簧質(zhì)量，設(shè)彈簧質(zhì)量為$\frac{m}{n}$，則當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，求彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E'_p．

Answer 1

分析 （i）當(dāng)兩個(gè)滑塊速度相等時(shí)彈簧壓縮量最大，彈性勢(shì)能最大．滑塊A、B系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解共同速度；根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p；
（ii0現(xiàn)考慮彈簧質(zhì)量，兩個(gè)滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，再由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p′．

解答 解：（i）在不計(jì)彈簧質(zhì)量的情況下，兩個(gè)滑塊的總動(dòng)量守恒．當(dāng)彈簧壓縮最短時(shí)，兩個(gè)滑塊的速度相等，設(shè)為v．取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=3mv
由能量守恒定律有：E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$×3mv²
聯(lián)立解得：E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
（ii）考慮彈簧質(zhì)量，則對(duì)整體由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有：
mv₀=（3m+$\frac{m}{n}$）v'
E'_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$（3m+$\frac{m}{n}$）v'²
解得：E'_p=$\frac{（2n+1）m{v}_{0}^{2}}{2（3n+1）}$
答：（i）在不計(jì)彈簧質(zhì)量的情況下，當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p是$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$．
（ii）現(xiàn)考慮彈簧質(zhì)量，設(shè)彈簧質(zhì)量為$\frac{m}{n}$，則當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E'_p是$\frac{（2n+1）m{v}_{0}^{2}}{2（3n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要明確當(dāng)兩個(gè)滑塊速度相等時(shí)彈簧壓縮量最大，彈性勢(shì)能最大；然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律列式后聯(lián)立研究．