Question

根據(jù)玻爾理論，電子繞氫原子核運(yùn)動(dòng)可以看作是僅在庫侖引力作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，靜電力常量為k．
（1）電子繞氫原子核做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可等效為環(huán)形電流，試計(jì)算電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及形成的等效電流的大小；
（2）氫原子在不同的能量狀態(tài)，對(duì)應(yīng)著電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑滿足r_n=n²r₁，其中n為量子數(shù)，即軌道序號(hào)，r_n為電子處于第n軌道時(shí)的軌道半徑．電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量E_n為電子動(dòng)能與“電子-原子核”這個(gè)系統(tǒng)電勢能的總和．理論證明，系統(tǒng)的電勢能E_p和電子繞氫原子核做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r存在關(guān)系：E_p=-k

e2

r

（以無窮遠(yuǎn)為電勢能零點(diǎn)）．請(qǐng)根據(jù)以上條件完成下面的問題．
①試證明電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量E_n和電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量E₁滿足關(guān)系式E_n=

E1

n2

②假設(shè)氫原子甲核外做圓周運(yùn)動(dòng)的電子從第2軌道躍遷到第1軌道的過程中所釋放的能量，恰好被量子數(shù)n=4的氫原子乙吸收并使其電離，即其核外在第4軌道做圓周運(yùn)動(dòng)的電子脫離氫原子核的作用范圍．不考慮電離前后原子核的動(dòng)能改變，試求氫原子乙電離后電子的動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)庫侖力提供向心力，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)周期的公式，再由電流表達(dá)式，即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合動(dòng)能與電勢能表達(dá)式，從而確定各軌道的能級(jí)，最后由能量守恒定律，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₁，形成的等效電流大小為I₁，
根據(jù)牛頓第二定律有：k

e2

r 2 1

=m

4π2

T 2 1

r1                  
則有：T1=

2π

e

m r 3 1 k

                               
又因?yàn)椋?span id="dzjtb7v" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">I1=

e

T1

                                     
有：I1=

e2

2π

k m r 3 1

                                   
（2）①設(shè)電子在第1軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₁，
根據(jù)牛頓第二定律有
k

e2

r 2 1

=m

v 2 1

r1

                                         
電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能：Ek1=

1

2

m

v

2 1

=

ke2

2r1

           
電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量 E₁=-k

e2

r1

+

ke2

2r1

=-k

e2

2r1

 
同理，電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量  E_n=-k

e2

rn

+

ke2

2rn

=-k

e2

2rn

 
又因?yàn)?nbsp;r_n=n²r₁
則有 E_n=-k

e2

2rn

=-k

e2

2n2r1

=

E1

n2

  命題得證．                 
②由①可知，電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量  E₁=-k

e2

2r1

電子在第2軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量  E₂=

E1

22

=-k

e2

8r1

           
電子從第2軌道躍遷到第1軌道所釋放的能量△E=E₂-E₁=

3ke2

8r1

電子在第4軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量  E₄=

E1

4

=-k

e2

32r1

        
設(shè)氫原子電離后電子具有的動(dòng)能為E_k，根據(jù)能量守恒有
E_k=E₄+△E                                              
解得E_k=-k

e2

32r1

+

3ke2

8r1

=

11ke2

32r1

；         
答：（1）電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T1=

2π

e

m r 3 1 k

，及形成的等效電流的大�。�I1=

e2

2π

k m r 3 1

；
 （2）①證明如上所示；②氫原子乙電離后電子的動(dòng)能

11ke2

32r1

．

點(diǎn)評(píng)：考查庫侖定律，掌握牛頓第二定律的應(yīng)用，注意原子核的電量與電子電量相等，同時(shí)各軌道的能量是解題的關(guān)鍵，還要掌握能量守恒定律的內(nèi)容．