Question

如圖所示，質(zhì)量M，半徑R的光滑半圓槽第一次被固定在光滑水平地面上，質(zhì)量為m的小球，以某一初速度沖向半圓槽剛好可以到達頂端C．然后放開半圓槽．其可以自由運動，m小球又以同樣的初速沖向半圓槽，小球最高可以到達與圓心等高的B點，（g=10m/s²）
試求：
①半圓槽第一次被固定時，小球運動至C點后平拋運動的水平射程X=？
②小球質(zhì)量與半圓槽質(zhì)量的比值m/M為多少？

Answer 1

分析：1、在C點剛好由重力提供向心力，可解出在C點的速度，小球由C點開始做平拋運動，根據(jù)平拋運動的位移公式可求解水平射程X．
2、半圓槽第一次被固定時，對小球運用動能定理-2mgR=

1

2

mv12-

1

2

mv02．
然后放開半圓槽后，m小球又以同樣的初速沖向半圓槽，對m、M系統(tǒng)根據(jù)動量守恒定律、動能定理有：
mv₀=（m+M）v₂
-mgR=

1

2

(m+M)v22-

1

2

mv02
根據(jù)以上三個方程化簡，即可解出小球質(zhì)量與半圓槽質(zhì)量的比值．

解答：解：①小球剛好可以到達頂端C，說明剛好由重力提供向心力
mg=m

v12

R

所以到達C點時的速度為v1=

gR

小球由C點做平拋運動
豎直方向上的位移y=2R=

1

2

gt2
所以運動的時間為t=

4R g

水平方向上的位移x=v₁t=

gR

?

4R g

=2R
②半圓槽第一次被固定時，對小球運用動能定理-2mgR=

1

2

mv12-

1

2

mv02
解得v02=5gR
然后放開半圓槽后，m小球又以同樣的初速沖向半圓槽，
對m、M系統(tǒng)根據(jù)動量守恒定律：
mv₀=（m+M）v₂
所以v2=

mv0

m+M

=

m

m+M

5gR

對m、M系統(tǒng)根據(jù)動能定理有：
-mgR=

1

2

(m+M)v22-

1

2

mv02
所以-mgR=

1

2

(m+M)?(

m

m+M

5gR

)2-

1

2

m?5gR
化簡得

m

M

=

3

2

答：①半圓槽第一次被固定時，小球運動至C點后平拋運動的水平射程X=2R．
②小球質(zhì)量與半圓槽質(zhì)量的比值為

m

M

=

3

2

．

點評：解答此題的關(guān)鍵能夠分析在哪些過程運用動量守恒定律，哪些過程運用能量守恒定律或動能定理，難點是抓住小球到B點時沿水平向右兩者有共同速度．