Question

1．如圖所示，AB和CDO都是處于豎直平面內(nèi)的光滑圓形軌道，OA處于水平位置．AB是半徑為R=2m的$\frac{1}{4}$圓周軌道，CDO是半徑為r=1m的半圓軌道，最高點(diǎn)O處固定一個豎直彈性檔板．D為CDO軌道的中央點(diǎn)．BC段是水平粗糙軌道，與圓弧形軌道平滑連接．已知BC段水平軌道長L=2m，與小球之間的動摩擦因數(shù)μ=0.4．現(xiàn)讓一個質(zhì)量為m=1kg的小球P從A點(diǎn)的正上方距水平線OA高H=8.55m處自由落下．（取g=10m/s²）
（1）問此球第一次達(dá)到B點(diǎn)時的速度大小；（結(jié)果可保留根號）
（2）問此球第一次達(dá)到O點(diǎn)對軌道的壓力；
（3）試通過計算判斷此球是否會脫離CDO軌道．

Answer 1

分析 （1）對小球從P到B過程，根據(jù)動能定理列式求解B點(diǎn)速度．
（2）對小球從P到O過程，根據(jù)動能定理列式求解O點(diǎn)速度，在O點(diǎn)，由軌道的壓力和重力的合力提供向心力，列式求解軌道對小球的壓力，再得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）設(shè)第k次（k為奇數(shù)1，3，5，…）經(jīng)過C點(diǎn)時的動能為E_k，由動能定理得到E_k．若第k次經(jīng)過C點(diǎn)后，恰能到達(dá)CDO軌道上的D點(diǎn)，則有：E_kC=mgr．若第k次經(jīng)過C點(diǎn)后，恰能到達(dá)CDO軌道上的O點(diǎn)，在O點(diǎn)由重力充當(dāng)向心力，速度為$\sqrt{gr}$，根據(jù)動能定理得到E_kC．然后判斷出k=？時球會脫離軌道．

解答 解：（1）對小球從P到B過程，根據(jù)動能定理得
   mg（H+R）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
可得 v_B=$\sqrt{2g（H+R）}$=$\sqrt{2×10×（8.55+2）}$=$\sqrt{211}$≈10.5m/s
（2）設(shè)小球第一次到達(dá)O點(diǎn)的速度為v_O，小球從釋放到O的過程，由動能定理得：
  mgH-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{O}^{2}$
在O點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_N+mg=m$\frac{{v}_{O}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得：F_N=145N
由牛頓第三定律得小球第一次到達(dá)O點(diǎn)對軌道的壓力大小 F_N′=F_N=145N，方向豎直向上．
（3）設(shè)小球第k次（k為奇數(shù)1，3，5，…）經(jīng)過C點(diǎn)時的動能為E_k，由動能定理得：
  mgH-kμmgL=E_k．
若第k次（k為奇數(shù)1，3，5，…）經(jīng)過C點(diǎn)后，恰能到達(dá)CDO軌道上的D點(diǎn)，則需要：
  E_kC=mgr=10J．
若第k次經(jīng)過C點(diǎn)后，恰能到達(dá)CDO軌道上的O點(diǎn)，在O點(diǎn)由重力充當(dāng)向心力，速度為$\sqrt{gr}$，則需要 E_kC=mg（2r）+$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{gr}$）²=25J
聯(lián)立解得：當(dāng)k=11時，有E_k=17.5J
即10J＜E_k＜17.5J，所以小球會第11次經(jīng)過C點(diǎn)后在DO之間脫離軌道．
答：
（1）此球第一次達(dá)到B點(diǎn)時的速度大小是10.5m/s．
（2）問此球第一次達(dá)到O點(diǎn)對軌道的壓力大小是145N，方向豎直向上．
（3）小球會第11次經(jīng)過C點(diǎn)后在DO之間脫離軌道．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是結(jié)合動能定理和向心力公式判斷物體的運(yùn)動情況，注意臨界點(diǎn)D和0位置的條件．知道小球剛脫離軌道時，由重力的徑向分力提供向心力．