設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0．
（2）設(shè)常數(shù)b＜2

2

-3，且對(duì)任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知f（x）定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．
（1）求f（

1

2

）的值
（2）求f（2^-n）的解析式（n∈N^*）

設(shè)a＞0，已知函數(shù) f(x)=

alnx

x

，討論f（x）的單調(diào)性．

如圖，拋物線C₁：y²=8x與雙曲線C2：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)有公共焦點(diǎn)F₂，點(diǎn)A是曲線C₁，C₂在第一象限的交點(diǎn)，且|AF₂|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）以F₁為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）²+y²=1．平面上有點(diǎn)P滿(mǎn)足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l₁，l₂，它們分別與圓M，N相交，且直線l₁被圓M截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓N截得的弦長(zhǎng)的比為

3

：1，試求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

已知海岸邊A，B兩海事監(jiān)測(cè)站相距60nmile，為了測(cè)量海平面上兩艘油輪C，D間距離，在A，B兩處分別測(cè)得∠CBD=75°，∠ABC=30°，∠DAB=45°，∠CAD=60°（A，B，C，D在同一個(gè)水平面內(nèi)）．請(qǐng)計(jì)算出C，D兩艘輪船間距離．

若等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，前n項(xiàng)的和為S_n，則數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為

Sn

n

=a1+(n-1)•

d

2

．類(lèi)似地，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b₁，公比為q，前n項(xiàng)的積為T(mén)_n，則數(shù)列{

n	Tn

}為等比數(shù)列，通項(xiàng)為 ．

函數(shù)y=2sin2(

π

4

-x)-1最小正周期為 的 函數(shù)．（填“偶”、“奇”）

數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，s_n為其前n項(xiàng)的和，對(duì)于n∈N^*，總有a_n，s_n，a_n²成等差數(shù)列．
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)的和為T(mén)_n，數(shù)列{T_n}的前n項(xiàng)的和為R_n，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，R_n-1=n（T_n-1）
（3）設(shè)A_n為數(shù)列{

2an-1

2an

}的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式A_n

2an+1

＜a對(duì)一切n∈N⁺都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知直線y=-2x-

2

3

與曲線f(x)=

1

3

x3-bx相切．
（1）求b的值
（2）若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上有兩個(gè)解x₁，x₂．
求：①m的取值范圍     ②比較x₁x₂+9與3（x₁+x₂）的大�。�