三棱錐A ­ BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖1­4所示．設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MN⊥NP.

(1)證明：P是線段BC的中點(diǎn)；

(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值．

圖1­4

如圖1­5，三棱柱ABC ­A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，AB⊥B₁C.

圖1­5

(1)證明：AC＝AB₁；

(2)若AC⊥AB₁，∠CBB₁＝60°，AB＝BC，求二面角A ­A₁B₁ ­C₁的余弦值．

如圖1­5所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分別為AC，DC的中點(diǎn)．

(1)求證：EF⊥BC；

(2)求二面角E­BF­C的正弦值．

圖1­5

 如圖1­6，四棱錐P ­ ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

圖1­6

(1)求證：AB⊥PD.

(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，問AB為何值時，四棱錐P ­ ABCD的體積最大？并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值．

 如圖1­6所示，四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A₁C₁∩B₁D₁＝O₁，四邊形ACC₁A₁和四邊形BDD₁B₁均為矩形．

(1)證明：O₁O⊥底面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求二面角C₁­OB₁­D的余弦值．

圖1­6

在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖1­5所示．

(1)求證：AB⊥CD；

(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

圖1­5

三棱錐A ­ BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖1­4所示．設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MN⊥NP.

(1)證明：P是線段BC的中點(diǎn)；

(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值．

圖1­4

如圖1­3所示，在四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是線段AB的中點(diǎn)．

圖1­3

(1)求證：C₁M∥平面A₁ADD₁；

(2)若CD₁垂直于平面ABCD且CD₁＝，求平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值．

如圖1­3，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

(1)證明：PB∥平面AEC；

(2)設(shè)二面角D­AE­C為60°，AP＝1，AD＝，求三棱錐E­ACD的體積．

圖1­3

如圖1­4，在棱長為2的正方體ABCD­A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分別是棱AB，AD，A₁B₁，A₁D₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD₁，BB₁上移動，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

(1)當(dāng)λ＝1時，證明：直線BC₁∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

圖1­4