已知f（x）=cos²x-sin²x．
（1）求f（

π

4

）的值及f（x）的最大值；
（2）求f（x）的遞減區(qū)間．

已知直線a，b和平面α，β，γ，試判斷下列說法是否正確，并說明理由：
（1）若a∥α，a∥b，b?α，則b∥α；
（2）若a∥β，β∥γ，則a∥γ；
（3）若a⊥α，b⊥a，b?α，則b∥α；
（4）若a⊥γ，β∥γ，則a⊥β．

如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°．
（Ⅰ）證明：AC=BC；
（Ⅱ）證明：AB⊥PC；
（Ⅲ）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P-ABC體積．

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（

2

，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線l₁，l₂交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N．
（�。┊�(dāng)點(diǎn)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l₁，l₂的方程并證明l₁⊥l₂；
（ⅱ）求證：線段MN的長(zhǎng)為定值．

已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x³-ax．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若對(duì)?x₁∈（0，+∞），總存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求a的取值范圍；
（3）證明不等式：（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

．

如圖，三棱錐P-ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，點(diǎn)O，D分別是AB，PB的中點(diǎn)，PO⊥AB，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=2QC．
（Ⅰ）證明：CD∥平面OPQ
（Ⅱ）若二面角A-PB-C的余弦值的大小為

5

5

，求PA．

對(duì)于數(shù)列{a_n}，把a(bǔ)₁作為新數(shù)列{b_n}的第一項(xiàng)，把a(bǔ)_i或-a_i（i=2，3，4，…，n）作為新數(shù)列{b_n}的第i項(xiàng)，數(shù)列{b_n}稱為數(shù)列{a_n}的一個(gè)生成數(shù)列．例如，數(shù)列1，2，3，4，5的一個(gè)生成數(shù)列是1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{b_n}為數(shù)列{

1

2n

}（n∈N^*）的生成數(shù)列，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）寫出S₃的所有可能值；
（Ⅱ）若生成數(shù)列{b_n}滿足S_3n=

1

7

（1-

1

8n

），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明：對(duì)于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為{x|x=

2k-1

2n

，k∈N^*，k≤2^n-1}．

如圖，已知拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A（-4，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EF∥AC交BC于F，連接CE，當(dāng)△CEF的面積是△BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作y軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足8Sn=an2+4an+3，且a₂是a₁和a₇的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{

a

n

}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）符號(hào)[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，記bn=[log2(

an+3

4

)]，求b1+b2+b3+…b2n．

如圖，正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中點(diǎn)，AA′=AB=2
（1）求證：AD⊥B′D；
（2）求三棱錐A′-AB′D的體積．