已知函數(shù)f（x）=log₂（x+

a

x

-2），其中常數(shù)a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若對任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍；
（2）記函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的最小值為g（a），求關(guān)于a的方程g（a）=m的解（用m表示）．

若函數(shù)y=log₂（x-1）圖象上第一象限有一點(diǎn)A到x軸的距離為1，與x軸的交點(diǎn)為B，則（

OA

+

OB

）•

AB

=．

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)．
（1）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求證：數(shù)列{

n	a1a2…an

}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{lga_na_n+1}是等差數(shù)列，試判斷{a_n}是否一定為等比數(shù)列？若一定是，請給出證明；若不一定是，請給出一反例．
（3）若數(shù)列{lg（a_na_n+1a_n+2）}和數(shù)列{lg（a_na_n+1a_n+2a_n+3）}均為等差數(shù)列，試判斷數(shù)列{a_n} 是否為等比數(shù)列？請證明你的結(jié)論．
本題可進(jìn)一步探索：
若數(shù)列{lg（a_na_n+1…an+p-1）}和數(shù)列{lg（a_na_n+1…a_n+g-1）}均為等差數(shù)列，其p，q≥2且互質(zhì)，試判斷數(shù)列{a_n} 是否為等比數(shù)列？請證明你的結(jié)論．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

2

，其左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P（x₀，y₀）是圓x²+y²=

7

4

上一點(diǎn)，且

PF1

•

PF2

=

3

4

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)不垂直x軸的直N線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N傾斜角分別為α，β，且α+β=π．證明直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈．若對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)•f(x2)

=M成立，則稱函數(shù)f（x）在D上的幾何平均數(shù)為M．已知函數(shù)g（x）=3x+1（x∈[0，1]），則g（x）在區(qū)間[0，1]上的幾何平均數(shù)為．

已知{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，其中a₁=b₁=1，a₄=7，a₅=b₂，且存在常數(shù)a，β使得對每一個(gè)正數(shù)n都有a_n=1og_ab_n+β，則a+β=（　�。�

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，3a1，

1

2

a3，2a2成等差數(shù)列，則

a2011+a2012

a2009+a2010

=（　�。�

設(shè)函數(shù)f（x）=

ax

e2x

+b，其中a＞0，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線為直線l，證明：f（x）=

ax

e2x

+b的圖象恒在切線l的下方（除切點(diǎn)外）．
（2）當(dāng)a=1，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-|lnx|，若?x₀∈（0，+∞），使得F（x₀）=0，求實(shí)數(shù)b的最小值．

下列命題中真命題的個(gè)數(shù)有（　�。�
（1）集合{小于1的正有理數(shù)}是一個(gè)有限集；
（2）集合{y|y=x²-1}與集合{（x，y）|y=x²-1}是同一個(gè)集合；
（3）1，

3

2

，

6

4

，|-

1

2

|，0.5，這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n+p•2ⁿ+1（n∈N^*，p為常數(shù)），a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．（1）求p的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b₂=4，滿足4 Sn-n=（a_n-n） bn（n∈N^*），求證：（1+

1

bn

） 

1

2

bn＜

5

3

．