（本題滿分12分）已知展開式的二項式系數(shù)和為512，
且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余數(shù).
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（本題滿分13分）
已知二項式的展開式中，
（Ⅰ）求展開式中含項的系數(shù)；
（Ⅱ）如果第項和第項的二項式系數(shù)相等，試求的值。

(本題滿分13分)在展開式中，求：
（1）第6項；  （2） 第3項的系數(shù)；  （3）常數(shù)項。

證明：。

在用0，1，2，3，4組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)中，
（1）偶數(shù)有多少個；
（2）個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大的數(shù)有多少個；
（3）數(shù)字1和2相鄰，且3和4不相鄰的數(shù)有多少個．

（本小題滿分12分）有4名老師和4名學生站成一排照相。
（I）4名學生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
（II）任兩名學生都不能相鄰，共有多少種不同的排法？
（III）老師和學生相間排列，共有多少種不同的排法？（要求用數(shù)字作答）

（8分）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)要派5名醫(yī)生參加賑災醫(yī)療隊，則：
(1)某內(nèi)科醫(yī)生必須參加，某外科醫(yī)生不能參加，有多少種選法？
(2)至少有一名內(nèi)科醫(yī)生且至少有一名外科醫(yī)生參加有幾種選法？

在二項式的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列
（1）求展開式的第四項；
（2）求展開式的常數(shù)項；
（3）求展開式中各項的系數(shù)和．

已知是否存在自然數(shù)，使對任意，都有整除？如果存在，求出的最大值，并證明；若不存在，說明理由．

已知的展開式記為，的展開式記為．已知的奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和比的偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和大496．
（1）求中二項式系數(shù)最大的項；
（2）求中的有理項；
（3）確定實數(shù)的值，使與中有相同的項，并求出相同的項．