設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點(n，S_n)在函數(shù)f(x)＝x²＋x的圖象上．

(1)求a_n的表達(dá)式；

(2)設(shè)使得不等式

都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；

(3)將數(shù)列{a_n}依次按1項，2項循環(huán)地分為(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄)，(a₇)，(a₈，a₉)，(a₁₀)，…，分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₁₀₀的值；

(4)如果將數(shù)列{a_n}依次按1項，2項，3項，…，m(m≥3)項循環(huán)；分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，提出同(3)類似的問題((3)應(yīng)當(dāng)作為特例)，并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

已知：f(x)＝log_ax(0＜a＜1)．若數(shù)列{a_n}使得2，f(a₁)，f(a₂)，…，f(a_n)，2n＋4(n∈N^*)成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項；

(2)設(shè)b_n＝a_nf(a_n)，若{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

函數(shù)是這樣定義的：對于任意整數(shù)m，當(dāng)實數(shù)x滿足不等式時，有f(x)＝m．

(1)求函數(shù)的定義域D，并畫出它在x∈D∩[0，4]上的圖像；

(2)若數(shù)列，記S_n＝f(a₁)＋f(a₂)＋f(a₃)＋…＋f(a_n)，求S_n；

(3)若等比數(shù)列{b_n}的首項是b₁＝1，公比為a(q＞0)，又f(b₁)＋f(b₂)＋f(b₃)＝4求公比q的取值范圍．

已知二次函數(shù)y＝f(x)對任意x∈R滿足f(x－1)＝f(－x)，且圖像經(jīng)過點(－2，1)及坐標(biāo)原點．

(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}前n項和S_n＝f(n)，求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；

(3)對(2)中a_n，設(shè)為數(shù)列{b_n}前n項和，試問：是否存在關(guān)于n的整式g(n)，使得T₁＋T₂＋…＋T_n－1＝(T_n－1)g(n)對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，請說明理由．

如圖是一個具有n行n列的數(shù)表，第一行是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，第一列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，其它空格按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫．設(shè)a_ij表示第i行第j列的數(shù)．

(1)求a₂₂，a₃₂及a_n2的表達(dá)式；

(2)第二行能否構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出q，d滿足的條件；若不能，請說明理由．

(3)請根據(jù)這張數(shù)表提出一個與問題(2)相類似的問題，并加以研究和解決(根據(jù)所提問題的難度及解答情況評分)．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＝a(a為常數(shù)，a∈R，a_n+1＝2ⁿ－3a_n(n∈N^*)，設(shè)．

(1)求數(shù)列{b_n}所滿足的遞推公式；

(2)求常數(shù)c、q使得b_n+1－c＝q(b_n－c)對一切n∈N^*恒成立；

(3)求數(shù)列{a_n}通項公式，并討論：是否存在常數(shù)a，使得數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列？若存在，求出所有這樣的常數(shù)a；若不存在，說明理由．

我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{a_n}和實數(shù)x(x≠0)，使得A＝a₁＋a₂x＋a₃x²＋…＋a_nx^n－1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡記為：

．如：，則表示A是一個2進(jìn)制形式的數(shù)，且A＝－1＋3×2＋(－2)×2²＋1×2³＝5．

(1)已知m＝(1－2x)(1＋3x²)(其中x≠0)，試將m表示成x進(jìn)制的簡記形式．

(2)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝2，，

，是否存在實常數(shù)p和q，對于任意的n∈N^*，b_n＝p·8ⁿ＋q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．

(3)若常數(shù)t滿足t≠0且t＞－1，，求．

已知f(x)＝log₂x，若2，f(a₁)，f(a₂)，f(a_n)，2n＋4，…(n∈N^*)成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{a_n}(n∈N^*)的通項公式；

(2)設(shè)g(k)是不等式整數(shù)解的個數(shù)，求g(k)；

(3)在(2)的條件下，試求一個數(shù)列{b_n}，使得．

對于給定數(shù)列{c_n}，如果存在實常數(shù)p，q使得c_n+1＝pc_n＋q對于任意n∈NN*都成立，我們稱數(shù)列{c_n}是“M類數(shù)列”．

(1)若a_n＝2n，b_n＝3·2ⁿ，n∈N^*，數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)p，q，若不是，請說明理由；

(2)證明：若數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，則數(shù)列{a_n＋a_n+1}也是“M類數(shù)列”；

(3)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝2，a_n＋a_n+1＝3t·2ⁿ(n∈N^*)，t為常數(shù)．求數(shù)列{a_n}前2009項的和．并判斷{a_n}是否為“M類數(shù)列”，說明理由；

(4)根據(jù)對(2)(3)問題的研究，對數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n、a_n+1，提出一個條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題，并探究其逆命題的真假．

已知，數(shù)列{a_n}有a₁＝a，a₂＝p(常數(shù)p＞0)，對任意的正整數(shù)n，S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n，并有S_n滿足．

(1)求a的值；

(2)試確定數(shù)列{a_n}是不是等差數(shù)列，若是，求出其通項公式．若不是，說明理由；

(3)對于數(shù)列{b_n}，假如存在一個常數(shù)b使得對任意的正整數(shù)n都有b_n＜b且，則稱b為數(shù)列{b_n}的“上漸進(jìn)值”，令，求數(shù)列{p₁＋p₂＋…＋p_n－2n}的“上漸進(jìn)值”．