已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，求平面A₁BC₁和平面ACD₁的距離．

已知：四面體ABCD的各棱長(zhǎng)都為a，E是AD邊的中點(diǎn)，連結(jié)CE．求：CE與底面BCD所成的角的正弦值．

如下圖，線段兩端點(diǎn)在平面α的同側(cè)，斜線AM、BN與α分別成30°、60°角，且AM⊥AB，BN⊥AB，AM＝6，BN＝，AB＝6．

(1)求證：AB∥α；

(2)求MN的長(zhǎng)．

已知Rt△ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，AC和BC與α所成的角分別為30°、45°，CD是斜邊AB上的高，求CD與平面α所成的角．

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)M為棱B₁B上的一點(diǎn)，當(dāng)的值為多少時(shí)，能使D₁M⊥平面EFB₁？并給出證明．

如下圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是13，平面ABCD外一點(diǎn)P到正方形各頂點(diǎn)的距離都為13，M，N分別是PA，BD上的點(diǎn)，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8．

(1)求證直線MN∥平面PBC；

(2)求線段MN的長(zhǎng)．

有一塊木料如下圖所示，已知棱BC平行于平面．要經(jīng)過(guò)木料表面內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi)，應(yīng)怎樣畫(huà)線？所畫(huà)的線和平面AC有什么關(guān)系？

如下圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別是棱CC₁、BB₁上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC＝2FB＝2．

問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，MB∥平面AEF？請(qǐng)給出證明．

如下圖所示，A是△BCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是△ABC和△ACD的重心，若BD＝a．求線段MN的長(zhǎng)．

長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁(如下圖所示)，寬、長(zhǎng)、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一甲殼蟲(chóng)從A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到C₁來(lái)獲取食物，試畫(huà)出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值．