.已知矩形中，,為的中點(diǎn)，沿將折起，使,分別為的中點(diǎn)。

 （1）求證：直線

 （2）求證：面

已知：以點(diǎn)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與Y軸交于點(diǎn)O,B,其中O為原點(diǎn)．

    (1)求證：△OAB的面積為定值：

    (2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N,若OM= ON,求圓C的方程．

某產(chǎn)品按質(zhì)最分成6種不同檔次。假設(shè)工時(shí)不變，每天可生產(chǎn)最低檔次40件。若每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加1元，但是每天要少生產(chǎn)2件產(chǎn)品。

  (1)若最低檔次產(chǎn)品利潤(rùn)每件為16元時(shí)，問(wèn)生產(chǎn)哪種檔次產(chǎn)品每天所獲利潤(rùn)最大？

  (2)由于原材料價(jià)格的浮動(dòng)，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品每什利潤(rùn)a [8，24]元，那么生產(chǎn)哪種檔次產(chǎn)品利潤(rùn)最大？

已知數(shù)列滿足：

    (1)若，求數(shù)列的前30項(xiàng)和的值；

    (2)求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，總存在正整數(shù)m,使得當(dāng)n>m（）時(shí), 成立。

設(shè)f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù)，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱(chēng)f(x)為[0，1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間．對(duì)任意的[0，1]上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法．

  (I)證明：對(duì)任意的∈(O，1)，，若f()≥f()，則(0，)為含峰區(qū)間：若f()f()，則為含峰區(qū)間：

  (II)對(duì)給定的r(0<r<0.5)，證明：存在∈(0，1)，滿足，使得由(I)所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于0.5+r：

  (III)選取∈(O，1)，，由(I)可確定含峰區(qū)間為或，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取，由與或與類(lèi)似地可確定一個(gè)新的含峰區(qū)間，在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，）的情況下，試確定的值，滿足兩兩之差的絕對(duì)值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度縮短到0. 34（區(qū)間長(zhǎng)度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差）

設(shè)矩陣,求矩陣A的特征向量及A²

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為X軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是：，求直線與曲線C相交所稱(chēng)的弦的弦長(zhǎng)。

已知，若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【必做題】(本題滿分10分)

某單位舉辦2010年上海世博會(huì)知識(shí)宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)．盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會(huì)會(huì)徽”或“海寶”（世博會(huì)吉祥物）圖案；抽獎(jiǎng)規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是‘‘海寶”，即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng)．卡片用后后放同盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行。

（I）有三人參加抽獎(jiǎng)，要使至少一人獲獎(jiǎng)的概率不低于，則“海寶”卡至少多少?gòu)?

（2）若有四張“海寶”卡，現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎(jiǎng)．用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列及E的值．

2條直線將一個(gè)平面最多分成4部分，3條直線將一個(gè)平面最多分成7部分， 4條直線將一個(gè)平面最多分成11部分，……；,,；……

（1）條直線將一個(gè)平面最多分成多少個(gè)部分(>1)?證明你的結(jié)論；

（2）個(gè)平面最多將空間分割成多少個(gè)部分(>2)?證明你的結(jié)論