(本小題滿分14分)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.

(1) 若sin＝2cos A，求A的值；

(2) 若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．

(本小題滿分14分)如圖，已知四面體ABCD的四個面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

(1) 求證：HG∥平面ABC；

(2) 請在面ABD內過點E作一條線段垂直于AC，并給出證明．

(本小題滿分14分)如圖，△ABC為一個等腰三角形形狀的空地，腰CA的長為3(百米)，底AB的長為4(百米)．現決定在該空地內筑一條筆直的小路EF(寬度不計)，將該空地分成一個四邊形和一個三角形，設分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為S₁和S₂.

(1) 若小路一端E為AC的中點，求此時小路的長度；

(2) 求的最小值．

(本小題滿分16分)已知橢圓中心為，右頂點為，過定點作直線交橢圓于、兩點.

（1）若直線與軸垂直，求三角形面積的最大值；

（2）若，直線的斜率為，求證：；

（3）在軸上，是否存在一點，使直線和的斜率的乘積為非零常數？若存在，求出點的坐標和這個常數；若不存在，說明理由.

(本小題滿分16分)已知函數f(x)＝是定義在R上的奇函數，其值域為.

(1) 試求a、b的值；

(2) 函數y＝g(x)(x∈R)滿足：

條件1： 當x∈[0,3)時，g(x)＝f(x)；條件2: g(x＋3)＝g(x)lnm(m≠1)．

① 求函數g(x)在x∈[3,9)上的解析式；

② 若函數g(x)在x∈[0，＋∞)上的值域是閉區(qū)間，試探求m的取值范圍，并說明理由．

（本題滿分16分）

對于數列，如果存在一個正整數，使得對任意的（）都有成立，那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，以下簡稱周期.例如當時是周期為的周期數列，當時是周期為的周期數列.

（1）設數列滿足（），（不同時為0），求證：數列是周期為的周期數列，并求數列的前2012項的和；

（2）設數列的前項和為，且.

①若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；

②若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；

（3）設數列滿足（），，，數列的前項和為，試問是否存在實數，使對任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，說明理由.

（本題滿分10分）

已知二階矩陣M有特征值及對應的一個特征向量，并且矩陣M對應的變換將點（-1,2）變換成（-2,4）。

（1）求矩陣M及其矩陣M的另一個特征值；

（2）求直線在矩陣M的作用下的直線的方程。

（本題滿分10分）曲線的參數方程為（其中為參數），M是曲線上的動點，且M是線段OP的中點，P點的軌跡為曲線，直線l的方程為，直線l與曲線交于A，B兩點。

（1）求曲線的普通方程；

（2）求線段AB的長。

（本題滿分10分）拋擲A,B,C三枚質地不均勻的紀念幣，它們正面向上的概率如下表所示；

將這三枚紀念幣同時拋擲一次，設表示出現正面向上的紀念幣的個數。

（1）求的分布列及數學期望；

（2）在概率中，若的值最大，求a的最大值。

（本題滿分10分）已知。

（1）若，求的展開式中的系數；

（2）證明：。