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科目： 來源：2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)仿真押題試卷（06）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓

和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（1）（�。┤魣AO過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的離心率e；
（ⅱ）若橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；
（2）設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M，N，求證：

為定值．

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科目： 來源：2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)仿真押題試卷（06）（解析版） 題型：解答題

對(duì)于數(shù)列{a_n}，定義數(shù)列{a_n+1-a_n}為{a_n}的“差數(shù)列”．
（I）若{a_n}的“差數(shù)列”是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，試寫出{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2ⁿ，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）對(duì)于（II）中的數(shù)列{a_n}，若數(shù)列{b_n}滿足a_nb_nb_n+1=-21•2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；②當(dāng)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的積最大時(shí)n的值．

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科目： 來源：2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)仿真押題試卷（06）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）的圖象在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，試寫出f₁（x），f₂（x）的表達(dá)式；
（2）已知函數(shù)f（x）=x²，x∈[-1，4]，試判斷f（x）是否為[-1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的k；如果不是，請(qǐng)說明理由；
（3）已知b＞0，函數(shù)f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍．

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科目： 來源：2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)仿真押題試卷（06）（解析版） 題型：解答題

（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=

，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為α₁=

，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為α₂=

．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．

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科目： 來源：2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)仿真押題試卷（06）（解析版） 題型：解答題

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長(zhǎng)度．

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科目： 來源：2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)仿真押題試卷（06）（解析版） 題型：解答題

某中學(xué)選派40名同學(xué)參加上海世博會(huì)青年志愿者服務(wù)隊(duì)（簡(jiǎn)稱“青志隊(duì)”），他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如表所示．

活動(dòng)次數(shù)	1	2	3
參加人數(shù)	5	15	20

（Ⅰ）從“青志隊(duì)”中任意選3名學(xué)生，求這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率；
（Ⅱ）從“青志隊(duì)”中任選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

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科目： 來源：2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)仿真押題試卷（06）（解析版） 題型：解答題

用a，b，c，d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1（n∈N⁺）個(gè)字母的字符串，要求由a開始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為a_n．
（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：