Question

1．已知函數(shù) f（x）=4x²-4ax+（a²-2a+2）．
（1）若a=1，求f（x）在閉區(qū)間[0，2]上的值域；
（2）若f（x）在閉區(qū)間[0，2]上有最小值3，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到值域；
（2）將f（x）配方，求得對(duì)稱軸，討論區(qū)間和對(duì)稱軸的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，可得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）$f（x）=4{x^2}-4x+1=4{（x-\frac{1}{2}）^2}$，
x=$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值0，x=2時(shí)，取得最大值9，
∴f（x）在閉區(qū)間[0，2]上的值域?yàn)閇0，9]；
（2）f（x）=4（x-$\frac{a}{2}$^）2+2-2a．
①當(dāng)$\frac{a}{2}$＜0即a＜0時(shí)，f（x）_min=f（0）=a²-2a+2=3，解得：a=1-$\sqrt{2}$；
②0≤$\frac{a}{2}$≤2即0≤a≤4時(shí)，f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=2-2a=3，解得：a=-$\frac{1}{2}$（舍）；
③$\frac{a}{2}$＞2即a＞4時(shí)，f（x）_min=f（2）=a²-10a+18=3，解得：a=5+$\sqrt{10}$．
綜上可知：a的值為1-$\sqrt{2}$或5+$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算能力，屬于中檔題．