Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax，g（x）=bx³+x．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點C（1，m）處具有公共切線，求實數(shù)m的值；
（2）當b=

1

3

，a=-4時，求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[-3，4]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，可知切點處的函數(shù)值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）當b=

1

3

，a=-4時時，則F（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x³+x²-3x，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)極值，再求出區(qū)間上的端點值，比較大小即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²+ax，
則f'（x）=2x+a，k₁=2+a，
g（x）=bx³+x，
則g'（x）=3bx²+1，k₂=3b+1，
由（1，c）為公共切點，可得：2+a=3b+1  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=

1

2

，b=

1

2

．
（2）當b=

1

3

，a=-4時，F(xiàn)（x）=f（x）+g（x）=）=

1

3

x³+x²-3x，
則F′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令F'（x）=0，解得：x₁=-3，x₂=1；
當x∈（-∞，-3）⇒F'（x）＞0⇒函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，
當x∈[-3，1）⇒F'（x）＜0⇒函數(shù)F（x）單調(diào)遞減，
當x∈（1，+4]⇒F'（x）＞0⇒函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，
∵F（-3）=9，F(xiàn)（4）=

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3

，
∴函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[-3，4]上的最大值為

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3

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)．