Question

如圖，O是直角坐標原點，A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上異于頂點的兩動點，且OA⊥OB，OM⊥AB并與AB相交于點M，求M點的軌跡方程．

Answer 1

解：根據(jù)條件，設點M，A，B的坐標分別為（x，y），（2pt₁²，2pt₁），（2pt₂²，2pt₂），t₁≠t₂，且t₁t₂≠0，
則，，
，
∵，∴，
即（2pt₁t₂）²+（2p）²t₁t₂=0．
∴t₁t₂=-1．
∵，∴2px（t₂²-t₁²）+2py（t₂-t₁）=0，
∴，
∵，，且A，M，B共線，
∴（x-2pt₁²）（2pt₂-y）=（y-2pt₁）（2pt₂²-x），
化簡得y（t₁+t₂）-2pt₁t₂-x=0，
由此可知M點的軌跡方程為x²+y²-2px=0，（x≠0）．
分析：根據(jù)條件，設點M，A，B的坐標分別為（x，y），（2pt₁²，2pt₁），（2pt₂²，2pt₂），t₁≠t₂，且t₁t₂≠0，由題意知t₁t₂=-1.，由此可知M點的軌跡方程．
點評：本題考查點的軌跡方程的求法，解題時要注意積累解題方法和解題技巧．