Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求直線FD與平面ABCD所成的角；
（2）求點D到平面BCF的距離；
（3）求二面角B-FC-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，由面面垂直的性質(zhì)可得EA⊥平面ABCD，作FH∥EA交AB于H，連接DH，則∠FDH為直線FD與平面ABCD所成的角，解Rt△FHD，即可得到直線FD與平面ABCD所成的角；
（2）分別以AD，AB，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法可得AF平面BCF，由，可求出點D到平面BCF的距離；
（3）分別求出平面CDEF的一個法向量結合（2）中，AF平面BCF，即為平面BCF的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角B-FC-D的大小．
解答：解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，即EA⊥AB，而平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴EA⊥平面ABCD．
作FH∥EA交AB于H，則FH⊥平面ABCD．連接DH，則∠FDH為直線FD與平面ABCD所成的角．
在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH==，
∴，∴∠FDH=，
即直線FD與平面ABCD所成的角為．
（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，∴EA⊥平面ABCD．
分別以AD，AB，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、
F（0，1，1），
∴．
∵，∴⊥平面BCF，
即=（0，1，1）為平面BCF的一個法向量，
又，
∴點D到平面BCF的距離為．
（3）∵，設為平面CDEF的一個法向量，
則令x=1，得z=1，
即．
又（1）知，為平面BCF的一個法向量，
∵＜，＞=，
且二面角B-FC-D的平面角為鈍角，
∴二面角B-FC-D的大小為120°．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面所成的角，點到平面的距離，（1）的關鍵是證得∠FDH為直線FD與平面ABCD所成的角，（2）的關鍵是熟練掌握，（3）關鍵是求出平面CDEF和平面BCF的法向量．