Question

14．已知圓C：x²+y²-2x-24=0，直線ax-y+5=0（a＞0）與圓交于A，B兩點．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若弦AB的垂直平分線l過點P（-2，4），求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化圓的一般方程為標準方程，求出圓心坐標和半徑，由圓心到直線的距離小于半徑列式求得a值；
（Ⅱ）求出PC所在直線的斜率，得到AB所在直線的斜率，進一步得到AB方程，由點到直線的距離公式求出圓心C到直線AB的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）依題意可知：直線l：ax-y+5=0（a＞0）
與圓C：x²+y²-2x-24=0，即（x-1）²+y²=25有兩個不同交點，
則圓心C（1，0）到直線l的距離d＜r（r表示圓C的半徑），
于是有：$d=\frac{{|{a+5}|}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}＜r=5$⇒$|{a+5}|＜5\sqrt{{a^2}+1}$，
不等式兩邊同時平方可得：（a+5）²＜25（a²+1），
化簡整理可得：12a²-5a＞0（a＞0），
解之得：$a＞\frac{5}{12}$．
故所求實數a的取值范圍是$a∈（{\frac{5}{12}，+∞}）$；
（Ⅱ）由垂徑定理知：弦AB的垂直平分線l′過圓心C（1，0），
又直線l過點P（-2，4），
故可得直線l′的斜率${k_{PC}}=\frac{4-0}{-2-1}=-\frac{4}{3}$，
而弦AB所在直線l斜率k_AB滿足k_AB•k_CP=-1，
于是可得：${k_{AB}}=-\frac{1}{{{k_{CP}}}}=\frac{3}{4}$，即有$a={k_{AP}}=\frac{3}{4}$，
從而弦AB所在直線l的方程為$\frac{3}{4}x-y+5=0$，即3x-4y+20=0，
由點到直線的距離公式可得：圓心C（1，0）到直線l的距離為$d=\frac{{|{3×1+20}|}}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=\frac{23}{5}$，
根據垂徑定理：${（{\frac{1}{2}|{AB}|}）^2}+{d^2}={r^2}$，
得：${|{AB}|^2}=4（{{r^2}-{d^2}}）=4[{25-{{（{\frac{23}{5}}）}^2}}]=\frac{384}{25}⇒|{AB}|=\frac{{8\sqrt{6}}}{5}$，
故三角形ABC的面積：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}×\frac{{8\sqrt{6}}}{5}×\frac{23}{5}=\frac{92}{25}\sqrt{6}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，著重考查垂徑定理的應用，是中檔題．