Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂＞a₃=1，則使不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）≥0成立的最大自然數(shù)n是

 

Answer 1

分析：先根據(jù)a₂＞a₃=1判斷公比q的范圍，可得到當(dāng)n＞3時(shí)，有a_n-

1

an

＜0，當(dāng)n＜3時(shí)a_n-

1

an

＞0，再用q表示出a₁，…，a₅，進(jìn)而得到（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

）+（a₅-

1

a5

）=0，從而得到不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）≥0成立的條件．

解答：解：設(shè)公比為q，a₂＞a₃=1，則有1＞q＞0
可知n＞3時(shí)，有a_n-

1

an

＜0
a₃=a₁q²=1得a₁=

1

q2

則有a₅=a₁q⁴=q²=

1

a1

，同理有a₂=

1

a4

得（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

）+（a₅-

1

a5

）=0
∴不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）≥0成立的最大自然數(shù)n等于5
故答案為5

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)．考查運(yùn)算能力和遞推關(guān)系．