Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上單調(diào)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）的極小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f（x）在R上單調(diào)等價于x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立，下面只要二次函數(shù)的根的判別式△≤0即可求得a的取值范圍；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極小值．先求出在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)值為0求出極值點，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的極小值．
解答：解：f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]
（Ⅰ）f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
考慮到e^x＞0恒成立且x²系數(shù)為正，
∴f（x）在R上單調(diào)等價于x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立．
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a的取值范圍是[-2，2]，（8分）
（若得a的取值范圍是（-2，2），可扣1分）
（Ⅱ）當(dāng)時，，，（10分）
令f′（x）=0，得，或x=1??，
令f′（x）＞0，得，或x＞1??，
令f′（x）＜0，得??（12分）
x，f′（x），f（x）的變化情況如下表
所以，函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=（14分）
點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．