Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²|x-a|（a∈R）．
（1）判定f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，是否存在一點(diǎn)M（t，0），使f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=x²|x-a|（a∈R），可對(duì)a分類討論，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；
（2）可假設(shè)存在一點(diǎn)M（t₀，0）使f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，故f（t₀+x）=-f（t₀-x）；
分當(dāng)t₀=a時(shí)，取x=a，有f（2a）=-f（0）=0，從而可得a=0，導(dǎo)出矛盾；
當(dāng)t₀≠a時(shí)，取x=a-t₀，f（a）=-f（2t₀-a）=0，可解得t0=

a

2

，再取x=0，從而可得a=0，導(dǎo)出矛盾；于是可得結(jié)論．

解答：解：（1）a=0時(shí)，f（x）為偶函數(shù)；a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）不存在．
假設(shè)存在一點(diǎn)M₀（t₀，0）使f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，
則對(duì)x∈R應(yīng)恒有f（t₀+x）=-f（t₀-x）．
當(dāng)t₀=a時(shí)，取x=a，
則f（2a）=-f（0）=0，∴4a²|a|=0，∴a=0這與a≠0矛盾．當(dāng)t₀≠a時(shí)，
取x=a-t₀，
則f（a）=-f（2t₀-a）=0．∴（2t₀-a）²|2t₀-2a|=0，∵2t₀-2a≠0，∴t0=

a

2

．而t0=

a

2

時(shí)，取x=0，
則f(

a

2

)=-f(

a

2

)即f(

a

2

)=0．∴

a2

4

|

a

2

|=0⇒a=0這也與已知矛盾．
綜上，不存在這樣的點(diǎn)M．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，難點(diǎn)在于對(duì)假設(shè)存在一點(diǎn)M₀（t₀，0）使f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得到f（t₀+x）=-f（t₀-x）后，對(duì)t₀分t₀=a與t₀≠a時(shí)的討論分析，考查學(xué)生的分析與轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．