Question

已知下列五個(gè)命題
①若b²=ac，則a，b，c成等比數(shù)列；
②若{a_n}是等比數(shù)列，且Sn=3 n+1+r，則r=-1；
③若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n+1，則數(shù)列{b_n}從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列；
④已知

2

x

+

3

y

=2，(x＞0，y＞0)，則xy的最小值是6．
⑤在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB．
請(qǐng)把正確的命題的題號(hào)都填在后面的橫線上

③④⑤

．

Answer 1

分析：對(duì)于①可以舉一個(gè)反例，滿足b²=ac，但a、b、c不成等比數(shù)列；
根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a₁，根據(jù)a₁=S₁求得r，可判斷②的真假；
根據(jù)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，n=1時(shí)，a₁=S₁，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義可判斷③的真假；
利用基本不等式可判斷④的真假；
根據(jù)正弦定理，可判斷⑤的真假

解答：解：①中，若b=0，a=2，c=0，滿足b²=ac，但a、b、c顯然不成等比數(shù)列，故①錯(cuò)；
②中，∵S_n=3ⁿ⁺¹+r，S_n-1=3ⁿ+r，（n≥2，n∈N⁺），
∴a_n=S_n-S_n-1=2•3ⁿ，又a₁=S₁=9+r，
由通項(xiàng)得：a₂=18，公比為3，∴a₁=6，∴r=-3，故②錯(cuò)；
③中S_n=n²+2n+1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2n+1，但b₁=4不符合b_n=2n+1
故數(shù)列{b_n}從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列，正確；
④中∵x＞0，y＞0，且

2

x

+

3

y

=2
∴

2

x

+

3

y

=2≥2

6 xy

即

6

xy

≤1，xy≥6，故④正確；
⑤中，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，故⑤正確
故答案為：③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．